Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $(2, 5)$

Этап 1

Запишем $y = x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = x^{2}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[2, 5]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $5$ и в $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 7.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Этап 7.2.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Этап 7.2.5

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3})$

Этап 7.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Этап 7.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3})$

Этап 7.2.8

Вычтем $8$ из $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3})$

Этап 7.2.9

Сократим общий множитель $117$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.9.1

Вынесем множитель $3$ из $117$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3})$

Этап 7.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)})$

Этап 7.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1})$

Этап 7.2.9.2.4

Разделим $39$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39)$

Этап 8

Вычтем $2$ из $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 39$

Этап 9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $3$ из $39$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (13))$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 13)$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 13$

Этап 10