Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x - 2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[4, 7]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[4, 7]$ , найдем область определения $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.1.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2}$

Этап 2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[4, 7]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Функция является дифференцируемой на $[4, 7]$ , поскольку производная является непрерывной на $[4, 7]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 4