Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) + 3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} - (\frac{2 x}{x + 3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{2 x}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 3) (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{2 x}{x + 3}$ на $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + h) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x (x + h + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Развернем $(x + h) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x (x + 3) + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Перенесем $3$ влево от $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x \cdot x - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h + 0 - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Добавим $h x + 3 h - x h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.10.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + x h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.10.2

Вычтем $x h$ из $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Добавим $3 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (3 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $\frac{6}{x + 3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{6}{x + 3} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 3}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Этап 5.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Этап 5.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 3}$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 0 + 3}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{6}{x + 3}$ на $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{6}{(x + 3) (x + 3)}$

Этап 7.2.2

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

Этап 7.2.3

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 8