Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вычтем $h$ из $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{h}{x (x + h)}$ в числитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

Этап 5.2

Вынесем член $\frac{1}{x}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 5.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.6

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 7.2

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x \cdot x}$

Этап 7.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x}$

Этап 7.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Этап 7.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 8