Математический анализ Примеры

$f (t) = K t^{2}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$f (t + h) = K {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${(t + h)}^{2}$ в виде $(t + h) (t + h)$ .

$f (t + h) = K ((t + h) (t + h))$

Этап 2.1.2.2

Развернем $(t + h) (t + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = K (t (t + h) + h (t + h))$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Этап 2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $t h$ и $h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Изменим порядок $t$ и $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2.2

Добавим $h t$ и $h t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Этап 2.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = K t^{2} + K (2 h t) + K h^{2}$

Этап 2.1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (t + h) = K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Этап 2.1.2.6

Окончательный ответ: $K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$ .

$K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $K t^{2}$ .

$2 K h t + K h^{2} + K t^{2}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $2 K h t$ и $K h^{2}$ .

$K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + K t^{2} - (K t^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $K t^{2}$ из $K t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + 0}{h}$

Этап 4.1.2

Добавим $K h^{2} + 2 K h t$ и $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t}{h}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $K h$ из $K h^{2} + 2 K h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $K h$ из $K h^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + 2 K h t}{h}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель $K h$ из $2 K h t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + K h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $K h$ из $K h \cdot h + K h (2 t)$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $K (h + 2 t)$ на $1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} K (h + 2 t)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + K (2 t)$

Этап 4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + 2 K t$

Этап 4.2.3.2

Изменим порядок $K h$ и $2 K t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} 2 K t + K h$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Этап 5.2

Найдем предел $2 K t$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Этап 5.3

Вынесем член $K$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$2 K t + K lim_{h \to 0} h$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$2 K t + K \cdot 0$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $K$ на $0$ .

$2 K t + 0$

Этап 7.2

Добавим $2 K t$ и $0$ .

$2 K t$

Этап 8