Математический анализ Примеры

$2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + (3 x + 3 h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Этап 2.1.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $- 5 x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Этап 2.2.2

Перенесем $3 x y$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Этап 2.2.3

Перенесем $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Этап 2.2.4

Изменим порядок $4 h x$ и $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - (2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - (2 x^{2}) - (3 x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - (3 x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} + 5 x - (2 y)}{h}$

Этап 4.1.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y + 0 - 3 x y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 3 x y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $3 x y$ из $3 x y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y + 0 - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $4 y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h - 5 x + 2 y + 0 + 5 x - 2 y}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h - 5 x + 2 y + 5 x - 2 y}{h}$

Этап 4.1.9

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 2 y + 0 - 2 y}{h}$

Этап 4.1.10

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 2 y - 2 y}{h}$

Этап 4.1.11

Вычтем $2 y$ из $2 y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 0}{h}$

Этап 4.1.12

Добавим $2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h}{h}$

Этап 4.1.13

Вынесем множитель $h$ из $2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Вынесем множитель $h$ из $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + 4 h x + 3 h y - 5 h}{h}$

Этап 4.1.13.2

Вынесем множитель $h$ из $4 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + 3 h y - 5 h}{h}$

Этап 4.1.13.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + h (3 y) - 5 h}{h}$

Этап 4.1.13.4

Вынесем множитель $h$ из $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + h (3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Этап 4.1.13.5

Вынесем множитель $h$ из $h (2 h) + h (4 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x) + h (3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Этап 4.1.13.6

Вынесем множитель $h$ из $h (2 h + 4 x) + h (3 y)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Этап 4.1.13.7

Вынесем множитель $h$ из $h (2 h + 4 x + 3 y) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y - 5)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y - 5)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $2 h + 4 x + 3 y - 5$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h + 4 x + 3 y - 5$

Этап 4.2.2

Перенесем $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x + 3 y + 2 h - 5$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Этап 5.2

Найдем предел $4 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$4 x + lim_{h \to 0} 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Этап 5.3

Найдем предел $3 y$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$4 x + 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Этап 5.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$4 x + 3 y + 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Этап 5.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$4 x + 3 y + 2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$4 x + 3 y + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 5$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 1 \cdot 5$

Этап 7.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5$

Этап 7.2

Добавим $4 x + 3 y$ и $0$ .

$4 x + 3 y - 5$

Этап 8