Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 9 {(x + h)}^{2} - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 9 ((x + h) (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 9 (x (x + h) + h (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 9 (2 h x) + 9 h^{2} - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $9$ .

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 (h x) + 9 h^{2} - 27 (x + h) + 20$

Этап 2.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$ .

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $- 27 x$ .

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 h - 27 x + 20$

Этап 2.2.2

Перенесем $9 x^{2}$ .

$18 h x + 9 h^{2} + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $18 h x$ и $9 h^{2}$ .

$9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - (9 x^{2} - 27 x + 20)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - (9 x^{2}) - (- 27 x) - 1 \cdot 20}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} - (- 27 x) - 1 \cdot 20}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 27$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} + 27 x - 1 \cdot 20}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $20$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} + 27 x - 20}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $9 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h - 27 x + 20 + 0 + 27 x - 20}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $9 h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h - 27 x + 20 + 27 x - 20}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 27 x$ и $27 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 0 + 20 - 20}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $9 h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 20 - 20}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $20$ из $20$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $9 h^{2} + 18 h x - 27 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $9 h$ из $9 h^{2} + 18 h x - 27 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $9 h$ из $9 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 18 h x - 27 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $9 h$ из $18 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 9 h (2 x) - 27 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $9 h$ из $- 27 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 9 h (2 x) + 9 h \cdot - 3}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $9 h$ из $9 h \cdot h + 9 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x) + 9 h \cdot - 3}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $9 h$ из $9 h (h + 2 x) + 9 h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x - 3)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x - 3)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $9 (h + 2 x - 3)$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 (h + 2 x - 3)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 9 (2 x) + 9 \cdot - 3$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 18 x + 9 \cdot - 3$

Этап 4.3.2

Умножим $9$ на $- 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 18 x - 27$

Этап 4.4

Изменим порядок $9 h$ и $18 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 18 x + 9 h - 27$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 18 x + lim_{h \to 0} 9 h - lim_{h \to 0} 27$

Этап 5.2

Найдем предел $18 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$18 x + lim_{h \to 0} 9 h - lim_{h \to 0} 27$

Этап 5.3

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$18 x + 9 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 27$

Этап 5.4

Найдем предел $27$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$18 x + 9 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 27$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$18 x + 9 \cdot 0 - 1 \cdot 27$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $9$ на $0$ .

$18 x + 0 - 1 \cdot 27$

Этап 7.1.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$18 x + 0 - 27$

Этап 7.2

Добавим $18 x$ и $0$ .

$18 x - 27$

Этап 8