Математический анализ Примеры

$f (θ) = θ \cos (θ) \sin (θ)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = θ \cos (θ)$ и $g (θ) = \sin (θ)$ .

$θ \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Этап 2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$θ \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Этап 3

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$θ (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Этап 4

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$θ (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ {\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Этап 7

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Этап 8

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1)$

Этап 9.2

Умножим $\cos (θ)$ на $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 10.2.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 10.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 10.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$θ \cos^{2} (θ) - θ \sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ)$