Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (x)$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \cos (x + h)$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $\cos (x + h)$ .

$\cos (x + h)$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - (\cos (x))}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.2.1.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.2.1.5

Найдем предел $\cos (x)$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\cos (x + 0) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.2.3

Объединим противоположные члены в $\cos (x + 0) - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.2.3.2

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 4.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $\cos (x + h) - (\cos (x))$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = \cos (h)$ и $g (h) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.3.2

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.3.3

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.4

Поскольку $- \cos (x)$ является константой относительно $h$ , производная $- \cos (x)$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.5

Добавим $- \sin (x + h)$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{1}$

Этап 4.4

Разделим $- \sin (x + h)$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (x + h)$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (x + h)$

Этап 5.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- \sin (lim_{h \to 0} x + h)$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \sin (x + lim_{h \to 0} h)$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \sin (x + 0)$

Этап 7

Добавим $x$ и $0$ .

$- \sin (x)$

Этап 8