Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 {(x + h)}^{5}$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Умножим $3$ на $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Этап 2.1.2.1.3.2

Умножим $3$ на $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Этап 2.1.2.1.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Этап 2.1.2.1.5

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5})$

Этап 2.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 3 (5 x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Этап 2.1.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.1

Умножим $5$ на $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Этап 2.1.2.1.7.2

Умножим $10$ на $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Этап 2.1.2.1.7.3

Умножим $10$ на $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Этап 2.1.2.1.7.4

Умножим $5$ на $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 15 (x h^{4}) - 3 h^{5}$

Этап 2.1.2.1.8

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Этап 2.2.3

Перенесем $x^{4}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Этап 2.2.4

Перенесем $x^{3}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Этап 2.2.5

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Этап 2.2.6

Перенесем $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5}$

Этап 2.2.7

Перенесем $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 x^{3}$

Этап 2.2.8

Перенесем $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 2.2.9

Перенесем $15 h^{2} x$ .

$5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 2.2.10

Перенесем $5 h^{3}$ .

$- 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 2.2.11

Перенесем $- 3 x^{5}$ .

$- 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 2.2.12

Перенесем $- 15 h x^{4}$ .

$- 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 2.2.13

Перенесем $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$- 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 2.2.14

Перенесем $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$- 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 2.2.15

Изменим порядок $- 15 h^{4} x$ и $- 3 h^{5}$ .

$- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3} - 3 x^{5})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3}) - (- 3 x^{5})}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} - (- 3 x^{5})}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 3 x^{5}}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- 3 x^{5}$ и $3 x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 0}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Этап 4.1.6

Вычтем $5 x^{3}$ из $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 0}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.8

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.8.2

Вынесем множитель $h$ из $- 15 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.8.3

Вынесем множитель $h$ из $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.8.4

Вынесем множитель $h$ из $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.8.5

Вынесем множитель $h$ из $- 15 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.8.6

Вынесем множитель $h$ из $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.8.7

Вынесем множитель $h$ из $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.8.8

Вынесем множитель $h$ из $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.8.9

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.8.10

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.8.11

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.8.12

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.8.13

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.8.14

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.8.15

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Этап 4.2.2.4

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2}$

Этап 4.2.2.5

Перенесем $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2}$

Этап 4.2.2.6

Перенесем $15 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Этап 4.2.2.7

Перенесем $- 3 h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Этап 4.2.2.8

Перенесем $- 15 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Этап 4.2.2.9

Перенесем $- 30 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Этап 4.2.2.10

Изменим порядок $- 30 x^{3} h$ и $- 15 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x^{4} - 30 x^{3} h - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- lim_{h \to 0} 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 6

Найдем предел $15 x^{4}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 7

Вынесем член $30 x^{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 8

Вынесем член $30 x^{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 10

Вынесем член $15 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x lim_{h \to 0} h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 11

Вынесем степень $3$ в выражении $h^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 12

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 lim_{h \to 0} h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 13

Вынесем степень $4$ в выражении $h^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 14

Найдем предел $15 x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 15

Вынесем член $15 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Этап 16

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2}$

Этап 17

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 18

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 18.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 18.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 18.4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 18.5

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 18.6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Умножим $- 1$ на $30$ .

$- 15 x^{4} - 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.2

Умножим $- 30 x^{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.1

Умножим $0$ на $- 30$ .

$- 15 x^{4} + 0 x^{3} - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.2.2

Умножим $0$ на $x^{3}$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.3

Умножим $- 1$ на $30$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 30 x^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.5

Умножим $- 30 x^{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.5.1

Умножим $0$ на $- 30$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 x^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.5.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.6

Умножим $- 1$ на $15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 15 x \cdot 0 - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.8

Умножим $- 15 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.8.1

Умножим $0$ на $- 15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 x - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.8.2

Умножим $0$ на $x$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.10

Умножим $- 3$ на $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.11

Умножим $15 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.11.1

Умножим $0$ на $15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.11.2

Умножим $0$ на $x$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 19.1.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0$

Этап 19.1.13

Умножим $5$ на $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Этап 19.2

Объединим противоположные члены в $- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Добавим $- 15 x^{4}$ и $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Этап 19.2.2

Добавим $- 15 x^{4}$ и $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Этап 19.2.3

Добавим $- 15 x^{4}$ и $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Этап 19.2.4

Добавим $- 15 x^{4}$ и $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} + 0 + 0$

Этап 19.2.5

Добавим $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ и $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} + 0$

Этап 19.2.6

Добавим $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ и $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Этап 20