Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.5

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 ((x + h) (x + h)) + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.6

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.7.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.7.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.7.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.7.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2.2.9

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Этап 2.2.3

Перенесем $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x - 1$

Этап 2.2.4

Перенесем $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x - 1$

Этап 2.2.5

Перенесем $4 h x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Этап 2.2.6

Перенесем $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Этап 2.2.7

Перенесем $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Этап 2.2.8

Изменим порядок $12 h^{2} x$ и $4 h^{3}$ .

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3}) - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 + 0 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $4 h^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 + 0 - x + 1}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $4 h^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 - x + 1}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0 - 1 + 1}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $4 h^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h - 1 + 1}{h}$

Этап 4.1.9

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

Этап 4.1.10

Добавим $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11

Вынесем множитель $h$ из $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Вынесем множитель $h$ из $4 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11.2

Вынесем множитель $h$ из $12 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11.3

Вынесем множитель $h$ из $12 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11.4

Вынесем множитель $h$ из $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11.5

Вынесем множитель $h$ из $4 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Этап 4.1.11.6

Возведем $h$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Этап 4.1.11.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.8

Вынесем множитель $h$ из $h (4 h^{2}) + h (12 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.9

Вынесем множитель $h$ из $h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.10

Вынесем множитель $h$ из $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.11

Вынесем множитель $h$ из $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.12

Вынесем множитель $h$ из $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $4 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Этап 4.2.2.4

Изменим порядок $12 x h$ и $12 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 6

Найдем предел $12 x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 7

Вынесем член $12 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 8

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 10

Найдем предел $4 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 12

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Этап 13.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Этап 13.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $12 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1.1

Умножим $0$ на $12$ .

$12 x^{2} + 0 x + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Этап 14.1.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Этап 14.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Этап 14.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Этап 14.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$

Этап 14.2

Объединим противоположные члены в $12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $12 x^{2}$ и $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 x + 0 + 1$

Этап 14.2.2

Добавим $12 x^{2}$ и $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 0 + 1$

Этап 14.2.3

Добавим $12 x^{2} + 4 x$ и $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 1$

Этап 15