Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{5}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{5}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Этап 2.2.2

Перенесем $x^{3}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Этап 2.2.3

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Этап 2.2.4

Перенесем $x$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5}$

Этап 2.2.5

Перенесем $x^{5}$ .

$5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + x^{5}$

Этап 2.2.6

Перенесем $5 h x^{4}$ .

$10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Этап 2.2.7

Перенесем $10 h^{2} x^{3}$ .

$10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Этап 2.2.8

Перенесем $10 h^{3} x^{2}$ .

$5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Этап 2.2.9

Изменим порядок $5 h^{4} x$ и $h^{5}$ .

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5} - (x^{5})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x^{5}$ из $x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + 0}{h}$

Этап 4.1.2

Добавим $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $h$ из $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{4} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель $h$ из $5 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $h$ из $10 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем множитель $h$ из $10 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + 5 h x^{4}}{h}$

Этап 4.1.3.5

Вынесем множитель $h$ из $5 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Этап 4.1.3.6

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{4}) + h (5 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Этап 4.1.3.7

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Этап 4.1.3.8

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Этап 4.1.3.9

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4}$

Этап 4.2.2.4

Перенесем $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + h^{4}$

Этап 4.2.2.5

Перенесем $5 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Этап 4.2.2.6

Перенесем $10 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Этап 4.2.2.7

Изменим порядок $10 x^{3} h$ и $5 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Этап 6

Найдем предел $5 x^{4}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Этап 7

Вынесем член $10 x^{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Этап 8

Вынесем член $10 x^{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Этап 10

Вынесем член $5 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Этап 11

Вынесем степень $3$ в выражении $h^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Этап 12

Вынесем степень $4$ в выражении $h^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Этап 13.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Этап 13.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Этап 13.4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $10 x^{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1.1

Умножим $0$ на $10$ .

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Этап 14.1.1.2

Умножим $0$ на $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Этап 14.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Этап 14.1.3

Умножим $10 x^{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.3.1

Умножим $0$ на $10$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 x^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Этап 14.1.3.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Этап 14.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0 + 0^{4}$

Этап 14.1.5

Умножим $5 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.5.1

Умножим $0$ на $5$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 x + 0^{4}$

Этап 14.1.5.2

Умножим $0$ на $x$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0^{4}$

Этап 14.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Этап 14.2

Объединим противоположные члены в $5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0$

Этап 14.2.2

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0$

Этап 14.2.3

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Этап 14.2.4

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$5 x^{4}$

Этап 15