Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 x - 3 h$

Этап 2.2.3

Перенесем $- 3 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 h - 3 x$

Этап 2.2.4

Перенесем $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Этап 2.2.5

Перенесем $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Этап 2.2.6

Изменим порядок $3 h^{2} x$ и $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - (x^{3} - 3 x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - x^{3} + 3 x}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 3 h}{h}$

Этап 4.1.7.4

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Этап 4.1.7.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Этап 4.1.7.6

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Этап 4.1.7.7

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 3$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 3$

Этап 4.2.2.3

Изменим порядок $3 x h$ и $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 3$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 6

Найдем предел $3 x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 7

Вынесем член $3 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 9

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 10.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $3 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Умножим $0$ на $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Этап 11.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 3$

Этап 11.2.2

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Этап 12