Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{a x}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = e^{a (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $e^{a x + a h}$ .

$e^{a x + a h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

$f (x) = e^{a x}$

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

$f (x) = e^{a x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - (e^{a x})}{h}$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $e^{a x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - e^{a x}}{h}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{a x + a h} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{a x + a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} a x + a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} a x + lim_{h \to 0} a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.4

Найдем предел $a x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{e^{a x + lim_{h \to 0} a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.5

Вынесем член $a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{e^{a x + a lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.6

Найдем предел $e^{a x}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{e^{a x + a lim_{h \to 0} h} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{e^{a x + a \cdot 0} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Умножим $a$ на $0$ .

$\frac{e^{a x + 0} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Добавим $a x$ и $0$ .

$\frac{e^{a x} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.3.2

Вычтем $e^{a x}$ из $e^{a x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - e^{a x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h} - e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h} - e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $e^{a x + a h} - e^{a x}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = e^{h}$ и $g (h) = a x + a h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a x + a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $a x + a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.2

По правилу суммы производная $a x + a h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [a x] + \frac{d}{d h} [a h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (\frac{d}{d h} [a x] + \frac{d}{d h} [a h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.3

Поскольку $a x$ является константой относительно $h$ , производная $a x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + \frac{d}{d h} [a h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.4

Поскольку $a$ является константой относительно $h$ , производная $a h$ по $h$ равна $a \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.6

Умножим $a$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.7

Добавим $0$ и $a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.4

Поскольку $- e^{a x}$ является константой относительно $h$ , производная $- e^{a x}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $e^{a x + a h} a$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.5.2

Изменим порядок множителей в $e^{a x + a h} a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{a e^{a x + a h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{a e^{a x + a h}}{1}$

Этап 5.4

Разделим $a e^{a x + a h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} a e^{a x + a h}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$a lim_{h \to 0} e^{a x + a h}$

Этап 6.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$a e^{lim_{h \to 0} a x + a h}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$a e^{lim_{h \to 0} a x + lim_{h \to 0} a h}$

Этап 6.4

Найдем предел $a x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$a e^{a x + lim_{h \to 0} a h}$

Этап 6.5

Вынесем член $a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$a e^{a x + a lim_{h \to 0} h}$

Этап 7

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$a e^{a x + a \cdot 0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $a$ на $0$ .

$a e^{a x + 0}$

Этап 8.2

Добавим $a x$ и $0$ .

$a e^{a x}$

Этап 9