Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1.1

Изменим порядок членов.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.1.1.1.2

Изменим порядок $27$ и $- 6 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.1.1.1.3

Запишем $- 6$ как $3$ плюс $- 9$

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.1.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- (x + h) + 3$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- x - h + 3$ и $x + h - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2.1.4

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + h) - 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2.1.6

Перепишем $- (x + h - 3)$ в виде $- 1 (x + h - 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2.1.7

Сократим общий множитель.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2.1.8

Разделим $- 1 (x + h + 9)$ на $1$ .

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

Этап 2.1.2.2.2

Перепишем $- 1 (x + h + 9)$ в виде $- (x + h + 9)$ .

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

Этап 2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

Этап 2.1.2.2.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (x + h) = - x - h - 9$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $- x - h - 9$ .

$- x - h - 9$

Этап 2.2

Изменим порядок $- x$ и $- h$ .

$- h - x - 9$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- x$ и $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $- h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Этап 4.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

Этап 5

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- 1$

Этап 6