Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

Этап 2.1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Пусть $u = x + h$ . Подставим $u$ вместо $x + h$ для всех.

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Изменим порядок членов.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u$ .

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.2.2.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 1$ .

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.3.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + h) - 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.6.1

Перепишем $- (x + h + 1)$ в виде $- 1 (x + h + 1)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ .

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Этап 4.1.1.2

Умножим $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.3

Развернем $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4.3

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.3.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4.3.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4.6

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4.7

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.5

Вычтем $h x$ из $- x h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.5.2

Вычтем $x h$ из $- x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.6

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.7

Вычтем $h$ из $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.9.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.9.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.9.3.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.10

Развернем $(x + 1) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.11.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.11.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.11.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.11.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.11.2

Добавим $- 3 x$ и $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.12

Развернем $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.13.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.13.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.13.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.13.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.13.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.13.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.13.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.13.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.14

Добавим $- x^{3}$ и $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.15

Добавим $- 2 x^{2} h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.16

Добавим $- 2 x^{2} h$ и $x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.17

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.18

Добавим $- x^{2} h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.19

Вычтем $2 x h$ из $2 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.19.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.19.2

Вычтем $2 x h$ из $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.20

Добавим $- x^{2} h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.21

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.22

Добавим $- x^{2} h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.23

Вынесем множитель $h$ из $- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.23.1

Вынесем множитель $h$ из $- x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.23.2

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.23.3

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.23.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- x^{2}) + h (- h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.23.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Объединим.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

Этап 4.5

Умножим $- x^{2} - h x - 3$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

Этап 4.9

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

Этап 4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Этап 4.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Перепишем $- (x^{2} + h x + 3)$ в виде $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Этап 4.11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Этап 5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{x}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 9

Найдем предел $x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 10

Вынесем член $x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 11

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 13

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 14.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $x$ на $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

Этап 15.1.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

Этап 15.2

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

Этап 15.3

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $\frac{x^{2} + 3}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

Этап 15.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

Этап 15.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

Этап 15.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

Этап 15.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

Этап 16