Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Этап 4.1.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Этап 4.1.3

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Этап 4.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{x + h}$ и $b = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5.2

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5.5

Добавим $x$ и $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5.6

Чтобы записать $\frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4.1.5.7

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Этап 4.1.5.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 4.1.5.8.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 4.1.5.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Перепишем $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10.3

Вычтем $h$ из $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (- 1 \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 4.1.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 4.1.7.2

Умножим $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ на $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Этап 4.1.7.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.7.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.7.7

Возведем $x + h$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Этап 4.1.7.8

Возведем $x + h$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Этап 4.1.7.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Этап 4.1.7.10

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ в числитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- (2 x + h) h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{x^{2}}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Этап 9

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Этап 12

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Этап 13.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + 0)}^{2}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{{(x + 0)}^{2}}$

Этап 14.2

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 14.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 14.3.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 14.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 14.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{2}{x^{2}}$

Этап 14.4

Умножим $\frac{- 1}{x}$ на $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{x \cdot x^{2}}$

Этап 14.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x^{2}}$

Этап 14.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2}{x^{1} x^{2}}$

Этап 14.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2}{x^{1 + 2}}$

Этап 14.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 14.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Этап 15