Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Этап 2.1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Этап 2.1.2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.6.1

Умножим $3$ на $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Этап 2.1.2.1.6.2

Умножим $3$ на $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3}$

Этап 2.1.2.1.7

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3}$

Этап 2.2.3

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + x^{2}$

Этап 2.2.4

Перенесем $2 h x$ .

$h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 2 h x + x^{2}$

Этап 2.2.5

Перенесем $h^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Этап 2.2.6

Перенесем $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Этап 2.2.7

Перенесем $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Этап 2.2.8

Изменим порядок $15 h^{2} x$ и $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2} + 5 x^{3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - (5 x^{3})}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - 5 x^{3}}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $5 x^{3}$ из $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} + 0}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $h$ из $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h^{2} + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.7.4

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.7.5

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Этап 4.1.7.6

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Этап 4.1.7.7

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Этап 4.1.7.8

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)}{h}$

Этап 4.1.7.9

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + h + 2 x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + 2 x + h$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} + 2 x + h$

Этап 4.2.2.4

Изменим порядок $15 x h$ и $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} + 2 x + h$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 6

Найдем предел $15 x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 7

Вынесем член $15 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 10

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 11.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 11.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + 0$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$ и $0$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $15 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $0$ на $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Этап 12.2.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Этап 12.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 + 2 x$

Этап 12.2.3

Умножим $5$ на $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$

Этап 12.3

Объединим противоположные члены в $15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Добавим $15 x^{2}$ и $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 2 x$

Этап 12.3.2

Добавим $15 x^{2}$ и $0$ .

$15 x^{2} + 2 x$

Этап 13