Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Умножим $1 + 3 x^{2}$ на $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3

По правилу суммы производная $1 + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x (2 x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.9

Умножим $2$ на $- 3$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x \cdot x}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{1 + 1}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.8

Вычтем $6 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.9

Объединим $6$ и $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.10.2.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.10.2.2

Умножим $- 3$ на $6$ .

$\frac{6 - 18 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.10.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.2

По правилу суммы производная $- 18 x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.3

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x^{2}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.5

Умножим $2$ на $- 18$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.6

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + 0) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.7

Добавим $- 36 x$ и $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + 0))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.7.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.7.2

Перенесем $6$ влево от $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) (6 \cdot (3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.7.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 12 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 36 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.2

Перепишем ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ .

$\frac{- 36 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3

Развернем $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.5

Умножим $3 x^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.2

Добавим $3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 36 (9 x^{4}) - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.6.1

Умножим $9$ на $- 36$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.6.2

Умножим $6$ на $- 36$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.6.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 324 x^{4} x - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 324 (x \cdot x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 324 (x^{1} x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 324 x^{1 + 4} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x \cdot x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x^{1} x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{1 + 2} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.9.1

Умножим $- 18$ на $- 12$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.9.2

Умножим $- 12$ на $6$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{1 + 2} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11

Развернем $(216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3} + x) - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 (x^{3} x^{2}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{3 + 2} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Умножим $216$ на $3$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x \cdot x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x^{1} x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{1 + 2} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Умножим $3$ на $- 72$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 216 x^{3} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.2

Вычтем $216 x^{3}$ из $216 x^{3}$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 0 - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.3

Добавим $648 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.2

Добавим $- 324 x^{5}$ и $648 x^{5}$ .

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.3

Вычтем $72 x$ из $- 36 x$ .

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1

Вынесем множитель $108 x$ из $324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $108 x$ из $324 x^{5}$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $108 x$ из $- 216 x^{3}$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $108 x$ из $- 108 x$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $108 x$ из $108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2})$ .

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $108 x$ из $108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)$ .

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{108 x (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.4.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 (u) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$\frac{108 x (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{108 x (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} + u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{108 x ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{108 x (u (3 u + 1) - (3 u + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$\frac{108 x ((3 u + 1) (u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.7

Разложим на множители.

$\frac{108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.5

Сократим общий множитель $3 x^{2} + 1$ и ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.5.1

Вынесем множитель $3 x^{2} + 1$ из $108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.5.2.1

Вынесем множитель $3 x^{2} + 1$ из ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(108 x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$108 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.3.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.3.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $108 x (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 + 3 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 1$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Этап 2.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Этап 2.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{3}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Этап 2.2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Этап 2.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Этап 2.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 2.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.4.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.4.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{108 (- 4) ((- 4) + 1) ((- 4) - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $108$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.2.3

Добавим $48$ и $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{49^{3}}$

Этап 4.2.2.4

Возведем $49$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{117649}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 \cdot (- 3 (- 4 - 1))}{117649}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $- 432$ на $- 3$ .

$f'' (- 4) = \frac{1296 (- 4 - 1)}{117649}$

Этап 4.2.3.3

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{1296 \cdot - 5}{117649}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $1296$ на $- 5$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 6480}{117649}$

Этап 4.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = - \frac{6480}{117649}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{6480}{117649}$ .

$- \frac{6480}{117649}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 1, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{108 (- 0.5) ((- 0.5) + 1) ((- 0.5) - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $108$ на $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 54 (- 0.5 + 1) (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 54$ на $- 0.5 + 1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 27 (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 27$ на $- 0.5 - 1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $3$ на $0.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Добавим $0.75$ и $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{1.75}^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $1.75$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{5.359375}$

Этап 5.2.3

Разделим $40.5$ на $5.359375$ .

$f'' (- 0.5) = 7.55685131$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $7.55685131$ .

$7.55685131$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 1, 0)$ , поскольку $f'' (- 0.5)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 1, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(0, 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{108 (0.5) ((0.5) + 1) ((0.5) - 1)}{{(3 {(0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $108$ на $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{54 (0.5 + 1) (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $54$ на $0.5 + 1$ .

$f'' (0.5) = \frac{81 (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $81$ на $0.5 - 1$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $3$ на $0.25$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $0.75$ и $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{1.75}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $1.75$ в степень $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{5.359375}$

Этап 6.2.3

Разделим $- 40.5$ на $5.359375$ .

$f'' (0.5) = - 7.55685131$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 7.55685131$ .

$- 7.55685131$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(0, 1)$ , поскольку $f'' (0.5)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(0, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(1, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{108 (4) ((4) + 1) ((4) - 1)}{{(3 {(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $108$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 4^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Добавим $48$ и $1$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{49^{3}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $49$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{117649}$

Этап 7.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Добавим $4$ и $1$ .

$f'' (4) = \frac{432 \cdot (5 (4 - 1))}{117649}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $432$ на $5$ .

$f'' (4) = \frac{2160 (4 - 1)}{117649}$

Этап 7.2.3.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$f'' (4) = \frac{2160 \cdot 3}{117649}$

Этап 7.2.4

Умножим $2160$ на $3$ .

$f'' (4) = \frac{6480}{117649}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $\frac{6480}{117649}$ .

$\frac{6480}{117649}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 1, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(0, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9