Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $\frac{1}{9 - x^{2}}$ в виде ${(9 - x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(9 - x^{2})}^{- 1})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 9 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

По правилу суммы производная $9 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Этап 1.1.1.3.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Этап 1.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Этап 1.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 1.1.1.3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = 1 {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.5.2

Умножим ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ на $1$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.1.1.3.7

Перенесем $2$ влево от ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ .

$f' (x) = 2 \cdot ({(9 - x^{2})}^{- 2} x)$

Этап 1.1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}) \cdot x$

Этап 1.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.1.5.1.2

Объединим $\frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(9 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}})$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.5.2

Вынесем множитель $- x^{2} + 9$ из ${(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $- x^{2} + 9$ из ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.5.2.2

Вынесем множитель $- x^{2} + 9$ из $- 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.5.2.3

Вынесем множитель $- x^{2} + 9$ из $(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 9]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Этап 1.1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $- x^{2} + 9$ из ${(- x^{2} + 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $- x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.11

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.12.1

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.12.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.16

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.17

Добавим $- x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Этап 1.1.2.18

Объединим $2$ и $\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 1.1.2.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 1.1.2.19.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 1.1.2.19.2.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$6 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{2} = - 18$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $6 x^{2} = - 18$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $6 x^{2} = - 18$ на $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{6}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Разделим $- 18$ на $6$ .

$x^{2} = - 3$

Этап 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 1.2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 1.2.3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{9 - x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$9 - x^{2} = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 9$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Этап 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 2.2.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 2.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 2.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 2.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 3, - 3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 3, - 3}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 3)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{6 {(- 6)}^{2} + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{6 \cdot 36 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $6$ на $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{216 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 4.2.1.3

Добавим $216$ и $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Этап 4.2.2.3

Добавим $- 36$ и $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Этап 4.2.2.4

Возведем $- 27$ в степень $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{- 19683}$

Этап 4.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $234$ и $- 19683$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $234$ .

$f'' (- 6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Этап 4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 19683$ .

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Этап 4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 6) = \frac{26}{- 2187}$

Этап 4.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 6) = - \frac{26}{2187}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (- 6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 3, 3)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 {(0)}^{2} + 18}{{(- {(0)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $0$ и $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0 + 9)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Добавим $0$ и $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{729}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $18$ и $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{729}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $729$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{2}{81}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{81}$ .

$\frac{2}{81}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 3, 3)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 3, 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(3, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f'' (6) = \frac{6 {(6)}^{2} + 18}{{(- {(6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $6$ на $6^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Умножим $6$ на $6^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Возведем $6$ в степень $1$ .

$f'' (6) = \frac{6 \cdot 6^{2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (6) = \frac{6^{1 + 2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 6.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{3} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f'' (6) = \frac{216 + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $216$ и $18$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $- 36$ и $9$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 27$ в степень $3$ .

$f'' (6) = \frac{234}{- 19683}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель $234$ и $- 19683$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $234$ .

$f'' (6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Этап 6.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 19683$ .

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Этап 6.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (6) = \frac{26}{- 2187}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (6) = - \frac{26}{2187}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 3, 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8