Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\cot (x)}{\sin (x)}$

Этап 1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}]$

Этап 2

Перепишем $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}]$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}]$

Этап 3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \csc (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 5

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 6

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 7

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 9

Добавим $1$ и $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 10

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 11

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))$

Этап 12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}$

Этап 13

Добавим $1$ и $2$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$