Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

Этап 1.1.1.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 - x^{\frac{1}{2}}] - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.9

По правилу суммы производная $1 + x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.12

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.13

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.14

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.16.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.16.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.18

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.19

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (- 1 \cdot 1 - - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.4.1.1

Умножим $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.4.1.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.3.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.3.3

Сократим общий множитель.

Этап 1.1.1.20.4.1.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.5

Перепишем $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.6

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.4.1.6.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.6.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.1.8

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.2

Объединим противоположные члены в $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.4.2.1

Добавим $- \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.2.2

Добавим $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 1 - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.4

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.5

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.5.1

Перепишем $\frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ в виде произведения.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.1.20.5.2

Умножим $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.20.6

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- (- {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 ({(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ на $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

По правилу суммы производная $1 + x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.7.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.7.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.7.4

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12.3

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.12.4.1

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12.4.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12.5

Сократим общий множитель.

Этап 1.1.2.12.6

Перепишем это выражение.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12.7

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12.8

Сократим общий множитель.

Этап 1.1.2.12.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.12.9.1

Перепишем это выражение.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.12.9.2

Умножим $1 + x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.13

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.15

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.16

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.17.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.17.2

Вычтем $2$ из $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.18

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.18.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.18.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.18.3

Объединим ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.18.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.18.4.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.18.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.18.5

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.19

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

Этап 1.1.2.20

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.1

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ на $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 0$

Этап 1.1.2.20.2

Добавим ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ и $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21.2

Применим правило умножения к $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{1} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21.3.2

Упростим.

$\frac{1}{x {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21.3.3

Перемножим экспоненты в ${({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2 \cdot 2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.21.4

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.5.1

Перепишем ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ в виде $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.2

Развернем $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.5.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3.1.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3.1.4

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.5.3.1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3.1.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3.1.4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3.1.4.4

Разделим $2$ на $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3.1.5

Упростим $x^{1}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.3.2

Добавим $x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.4

Добавим $2 x^{\frac{1}{2}}$ и $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.5.5

Изменим порядок членов.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.6

Чтобы записать $x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.7

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.9.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{1} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.3

Упростим $2 x^{1}$ .

$\frac{2 x + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.4

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\frac{3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5

Перепишем $3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.9.5.1

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.2

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.9.5.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.9.5.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.3.1.2

Запишем $4$ как $1$ плюс $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.3.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.9.5.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.9.5.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.10

Объединим.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4})}$

Этап 1.1.2.21.11

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.11.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.11.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.11.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.11.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.12

Умножим $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ на $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.13

Изменим порядок членов.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.14

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} + 1$ из $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.21.15

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.21.15.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} + 1$ из $2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Этап 1.1.2.21.15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Этап 1.1.2.21.15.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{\frac{1}{2}} = - 1$

Этап 1.2.3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.3.3.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.3.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.3.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.3.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.3.3.1.1.4

Упростим.

$9 x = {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 x = 1$

Этап 1.2.3.4

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 1.2.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 1.2.3.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Этап 1.2.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.2

Зададим знаменатель в $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 + \sqrt{x} = 0$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x} = - 1$

Этап 2.3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Упростим.

$x = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = 1$

Этап 2.3.4

Исключим решения, которые не делают $1 + \sqrt{x} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 2.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$[0, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $[0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(2)}^{\frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(2)}^{\frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{1 + \frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{2 + 3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.1.4

Добавим $2$ и $3$ .

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

$f'' (2) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $[0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $[0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5