Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 16) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.5

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.5

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 16) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.1.2

Умножим $3$ на $- 16$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 48 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.2

Вычтем $2 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 48 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 48 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 48 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 48 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 48}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 48$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 48)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 48$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 48) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 48$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48)) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 48)) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3.3

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} - 48) (2 x)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.5.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 48$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 48) x)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Перенесем $2$ влево от ${(x + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Применим правило умножения к ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.1

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) (x + 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.2

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x (x + 4) + 4 (x + 4)) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4 x + 16) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.4

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) ((x - 4) (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.5

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.6.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.6.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.6.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 8 x + 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.7

Развернем $(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 8 x + 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.8

Объединим противоположные члены в $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.8.1

Изменим порядок множителей в членах $x^{2} (- 8 x)$ и $8 x \cdot x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 8 x^{2} x + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.8.2

Добавим $- 8 x^{2} x$ и $8 x^{2} x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 0 + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.8.3

Добавим $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.8.4

Изменим порядок множителей в членах $8 x \cdot 16$ и $16 (- 8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 8 \cdot (16 x) + 16 x^{2} - 8 \cdot (16 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.8.5

Вычтем $8 \cdot 16 x$ из $8 \cdot 16 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 0 + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.8.6

Добавим $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.9.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{(x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.9.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.9.2

Перенесем $16$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.9.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 x \cdot x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.9.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.9.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.9.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 x^{2}) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.9.5

Умножим $8$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.9.6

Умножим $16$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.10

Вычтем $64 x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 48 x^{2} + 16 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.11

Добавим $- 48 x^{2}$ и $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.12.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.12.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.12.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.12.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.1.2.11.5.12.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.12.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.12.2

Умножим $2$ на $- 48$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{3} - 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.13

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (4 x^{3} - 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.14

Развернем $(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (4 x^{3} - 96 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (4 x^{3}) + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.15.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.15.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{4} x - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.15.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 (x \cdot x^{4}) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.4.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.15.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.1.2.11.5.15.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{1 + 4} - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.4.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{2} x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.15.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{3 + 2}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.6.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{5}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.7

Умножим $- 32$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{2} x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.9

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.15.9.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 (x \cdot x^{2})) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.9.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.15.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.1.2.11.5.15.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{1 + 2}) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.9.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{3}) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.10

Умножим $- 32$ на $- 96$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.11

Умножим $4$ на $256$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.15.12

Умножим $- 96$ на $256$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.16

Вычтем $128 x^{5}$ из $- 96 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.17

Добавим $3072 x^{3}$ и $1024 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.18

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.18.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.18.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.18.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{2 + 2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.18.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.18.2

Умножим $- 48$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.1

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 ((x + 4) (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.2

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 8 x + 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.5.1

Умножим $8$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.5.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 16 x + 32) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.6

Развернем $(2 x^{2} + 16 x + 32) (x - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.7.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.1.2.11.5.19.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.7.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.7.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.7.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.7.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.7.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.7.4

Умножим $- 4$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.7.5

Умножим $32$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.8

Добавим $- 8 x^{2}$ и $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 64 x + 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.9

Добавим $- 64 x$ и $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.10

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 ((x - 4) (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.11

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.12.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.12.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.12.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.12.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 8 x + 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.13

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.14.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.14.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} - 16 x + 32) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.15

Развернем $(2 x^{2} - 16 x + 32) (x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.16.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.16.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.16.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.16.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.1.2.11.5.19.16.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.16.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.16.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.16.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.19.16.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 (x \cdot x) - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.16.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.16.4

Умножим $4$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.16.5

Умножим $32$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.17

Вычтем $16 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x + 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.19.18

Добавим $- 64 x$ и $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.20

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x + 128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.20.1

Вычтем $8 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 0 - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.20.2

Добавим $2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.20.3

Добавим $- 128$ и $128$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.20.4

Добавим $2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.21

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 32 x - 32 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.22

Вычтем $32 x$ из $- 32 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.23

Развернем $(- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 64 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3} - 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.23.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.24.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.24.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{4} x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.24.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 (x^{3} x^{4})) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{3 + 4}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{7}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{4} x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.5

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.24.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 (x \cdot x^{4})) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.24.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 (x \cdot x^{4})) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{1 + 4}) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.5.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{5}) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.6

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.24.1.8.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.8.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{5}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.9

Умножим $48$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{2} x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.24.1.11.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 (x \cdot x^{2}))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.24.1.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 (x \cdot x^{2}))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{1 + 2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{3})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.1.12

Умножим $48$ на $- 64$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.24.2

Добавим $64 x^{5}$ и $192 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.25

Вычтем $4 x^{7}$ из $4 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + 0 + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.26

Добавим $- 224 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.27

Добавим $- 224 x^{5}$ и $256 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.28

Вычтем $3072 x^{3}$ из $4096 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29

Перепишем $32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.29.1

Вынесем множитель $32 x$ из $32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.29.1.1

Вынесем множитель $32 x$ из $32 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 1024 x^{3} - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.1.2

Вынесем множитель $32 x$ из $1024 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2}) - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.1.3

Вынесем множитель $32 x$ из $- 24576 x$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2}) + 32 x (- 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.1.4

Вынесем множитель $32 x$ из $32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 32 x (- 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.1.5

Вынесем множитель $32 x$ из $32 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 32 x (- 768)$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4} + 32 x^{2} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x ({(x^{2})}^{2} + 32 x^{2} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.3

Пусть $u_{3} = x^{2}$ . Подставим $u_{3}$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{32 x ({u_{3}}^{2} + 32 u_{3} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.4

Разложим ${u_{3}}^{2} + 32 u_{3} - 768$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.5.29.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 768$ , а сумма — $32$ .

$- 16, 48$

Этап 1.1.2.11.5.29.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{32 x ((u_{3} - 16) (u_{3} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.5

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.6

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.5.29.7

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.6.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.6.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.6.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.11.6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 1.1.2.11.6.3

Сократим общий множитель $x + 4$ и ${(x + 4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.6.3.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 1.1.2.11.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.6.3.2.1

Вынесем множитель $x + 4$ из ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Этап 1.1.2.11.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Этап 1.1.2.11.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(32 x (x - 4)) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 1.1.2.11.6.4

Сократим общий множитель $x - 4$ и ${(x - 4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.6.4.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $32 x (x - 4) (x^{2} + 48)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 1.1.2.11.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.6.4.2.1

Вынесем множитель $x - 4$ из ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Этап 1.1.2.11.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Этап 1.1.2.11.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$32 x (x^{2} + 48) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 48 = 0$

Этап 1.2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.3.3

Приравняем $x^{2} + 48$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Приравняем $x^{2} + 48$ к $0$ .

$x^{2} + 48 = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Решим $x^{2} + 48 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Вычтем $48$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 48$

Этап 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 48}$

Этап 1.2.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 48}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.3.1

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (48)}$

Этап 1.2.3.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$

Этап 1.2.3.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{48}$

Этап 1.2.3.3.2.3.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.3.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}$

Этап 1.2.3.3.2.3.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.3.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (4 \sqrt{3})$

Этап 1.2.3.3.2.3.6

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \pm 4 i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4 i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4 i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $32 x (x^{2} + 48) = 0$ верно.

$x = 0, 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 16 = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16$

Этап 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 2.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 4, - 4}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 4, - 4}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 4)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{32 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 48)}{{((- 6) + 4)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $32$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 6 + 4)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 6$ и $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 10)}^{3}}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 {(- 10)}^{3}}$

Этап 4.2.2.4

Возведем $- 10$ в степень $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 (36 + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $36$ и $48$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 \cdot 84}{- 8 \cdot - 1000}$

Этап 4.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 8$ на $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 \cdot 84}{8000}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $- 192$ на $84$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 16128}{8000}$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель $- 16128$ и $8000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Вынесем множитель $64$ из $- 16128$ .

$f'' (- 6) = \frac{64 (- 252)}{8000}$

Этап 4.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $64$ из $8000$ .

$f'' (- 6) = \frac{64 \cdot - 252}{64 \cdot 125}$

Этап 4.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 6) = \frac{64 \cdot - 252}{64 \cdot 125}$

Этап 4.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 6) = \frac{- 252}{125}$

Этап 4.2.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 6) = - \frac{252}{125}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{252}{125}$ .

$- \frac{252}{125}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 4)$ , поскольку $f'' (- 6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 4)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 4, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{32 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 48)}{{((- 2) + 4)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $32$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{{(- 2 + 4)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 2$ и $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 6)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 {(- 6)}^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 \cdot - 216}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 (4 + 48)}{8 \cdot - 216}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $4$ и $48$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{8 \cdot - 216}$

Этап 5.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $8$ на $- 216$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 1728}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $- 64$ на $52$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 3328}{- 1728}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $- 3328$ и $- 1728$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Вынесем множитель $- 64$ из $- 3328$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 1728}$

Этап 5.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $- 64$ из $- 1728$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 64 \cdot 27}$

Этап 5.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 64 \cdot 27}$

Этап 5.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 2) = \frac{52}{27}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{52}{27}$ .

$\frac{52}{27}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 4, 0)$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 4, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(0, 4)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{32 (2) ({(2)}^{2} + 48)}{{((2) + 4)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $32$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $2$ и $4$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{216 {(- 2)}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{216 \cdot - 8}$

Этап 6.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = \frac{64 (4 + 48)}{216 \cdot - 8}$

Этап 6.2.3.2

Добавим $4$ и $48$ .

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

Этап 6.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $216$ на $- 8$ .

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{- 1728}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $64$ на $52$ .

$f'' (2) = \frac{3328}{- 1728}$

Этап 6.2.4.3

Сократим общий множитель $3328$ и $- 1728$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Вынесем множитель $64$ из $3328$ .

$f'' (2) = \frac{64 (52)}{- 1728}$

Этап 6.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $64$ из $- 1728$ .

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{64 \cdot - 27}$

Этап 6.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{64 \cdot - 27}$

Этап 6.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (2) = \frac{52}{- 27}$

Этап 6.2.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (2) = - \frac{52}{27}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{52}{27}$ .

$- \frac{52}{27}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(0, 4)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(0, 4)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(4, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f'' (6) = \frac{32 (6) ({(6)}^{2} + 48)}{{((6) + 4)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $32$ на $6$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{{(6 + 4)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $6$ и $4$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{10^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $4$ из $6$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{10^{3} \cdot 2^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 2^{3}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 8}$

Этап 7.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f'' (6) = \frac{192 (36 + 48)}{1000 \cdot 8}$

Этап 7.2.3.2

Добавим $36$ и $48$ .

$f'' (6) = \frac{192 \cdot 84}{1000 \cdot 8}$

Этап 7.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $1000$ на $8$ .

$f'' (6) = \frac{192 \cdot 84}{8000}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $192$ на $84$ .

$f'' (6) = \frac{16128}{8000}$

Этап 7.2.4.3

Сократим общий множитель $16128$ и $8000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.1

Вынесем множитель $64$ из $16128$ .

$f'' (6) = \frac{64 (252)}{8000}$

Этап 7.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $64$ из $8000$ .

$f'' (6) = \frac{64 \cdot 252}{64 \cdot 125}$

Этап 7.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (6) = \frac{64 \cdot 252}{64 \cdot 125}$

Этап 7.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (6) = \frac{252}{125}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $\frac{252}{125}$ .

$\frac{252}{125}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (6)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 4)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 4, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(0, 4)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9