Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ в виде ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Этап 1.1.1.3.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Этап 1.1.1.3.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Этап 1.1.1.3.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Этап 1.1.1.3.7

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Этап 1.1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 x - 6)$

Этап 1.1.1.5

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [(2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 6) (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}))$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x - 6$ и $g (x) = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ в виде ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.5.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.5.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.5.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + 0)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.5.7

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.6

Возведем $2 x - 6$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.7

Возведем $2 x - 6$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{1 + 1} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Этап 1.1.2.10

По правилу суммы производная $2 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Этап 1.1.2.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Этап 1.1.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Этап 1.1.2.13

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Этап 1.1.2.14

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Этап 1.1.2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.15.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot 2)$

Этап 1.1.2.15.2

Объединим $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ и $2$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Этап 1.1.2.16

Чтобы записать $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Этап 1.1.2.17

Объединим $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ и $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Этап 1.1.2.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.19

Умножим ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}$ на ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.1

Перенесем ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}) {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 - 3} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.19.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $- 6$ .

$- 7, 1$

Этап 1.1.2.20.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.4

Перепишем ${(2 x - 6)}^{2}$ в виде $(2 x - 6) (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot ((2 x - 6) (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.5

Развернем $(2 x - 6) (2 x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.6.1.4

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.6.1.5

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.6.1.6

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.6.2

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 24 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2}) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.8.1

Умножим $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (4 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.8.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.1.2

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.1.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.1.4

Объединим $\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.2

Умножим $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (- 24 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.8.2.1

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 24 (\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}) \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.2.2

Объединим $24$ и $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{24 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.2.3

Умножим $24$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.2.4

Объединим $\frac{48}{(x - 7) (x + 1)}$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.3

Умножим $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.8.3.1

Умножим $36$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - 36 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.3.2

Объединим $- 36$ и $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 36 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.8.3.3

Умножим $- 36$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.2.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{(8) x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.2.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.3.1

Умножим $\frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ на $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - (\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)} \cdot \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Этап 1.1.2.20.3.2

Объединим.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (\frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.3.4

Сократим общий множитель $(x - 7) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.3.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.1.2.20.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.3.5

Перенесем $2$ влево от $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- (x - 7) (x + 1) \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.2

Сократим общий множитель $(x - 7) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.4.2.1

Вынесем множитель $(x - 7) (x + 1)$ из $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - (x - 7) (x + 1) \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.5

Сократим общий множитель $(x - 7) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.4.5.1

Вынесем множитель $(x - 7) (x + 1)$ из $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 1 \cdot 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.6

Умножим $- 1$ на $72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x + 2 \cdot - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.8

Умножим $2$ на $- 7$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x - 14) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.9

Развернем $(2 x - 14) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x (x + 1) - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.4.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.4.10.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.4.10.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.10.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.10.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.10.1.3

Умножим $- 14$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.10.2

Вычтем $14 x$ из $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.11

Добавим $- 8 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 48 x - 72 - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.12

Вычтем $12 x$ из $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 72 - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.13

Вычтем $14$ из $- 72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.14

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2} + 36 x - 86$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.14.2

Вынесем множитель $2$ из $36 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.14.3

Вынесем множитель $2$ из $- 86$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.14.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.4.14.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.5.1

Разложим $x^{2} - 6 x - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.5.1.1

$- 7, 1$

Этап 1.1.2.20.5.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {((x - 7) (x + 1))}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.5.2

Применим правило умножения к $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.5.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.5.3.1

Умножим $x - 7$ на ${(x - 7)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.5.3.1.1

Перенесем ${(x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.5.3.1.2

Умножим ${(x - 7)}^{2}$ на $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.5.3.1.2.1

Возведем $x - 7$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.5.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2 + 1} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.5.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.20.5.3.2

Умножим $x + 1$ на ${(x + 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.5.3.2.1

Перенесем ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Этап 1.1.2.20.5.3.2.2

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.20.5.3.2.2.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Этап 1.1.2.20.5.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{2 + 1}}$

Этап 1.1.2.20.5.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.20.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.20.7

Вынесем множитель $- 1$ из $18 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.20.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.20.9

Перепишем $- 43$ в виде $- 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 1 \cdot 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.20.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 18 x) - 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.20.11

Перепишем $- (3 x^{2} - 18 x + 43)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.20.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.20.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}})$

Этап 1.1.2.20.14

Умножим $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 18 x + 43$ на $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = 0$

Этап 1.2.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.3.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 18$ и $c = 43$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 43)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.3

Вычтем $516$ из $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.4

Перепишем $- 192$ в виде $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (192)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.7

Перепишем $192$ в виде $8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1.7.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.7.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 1.2.3.4.3

Упростим $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.3

Вычтем $516$ из $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.4

Перепишем $- 192$ в виде $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (192)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.7

Перепишем $192$ в виде $8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1.7.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.7.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 1.2.3.5.3

Упростим $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.3

Вычтем $516$ из $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.4

Перепишем $- 192$ в виде $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (192)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.7

Перепишем $192$ в виде $8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1.7.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.7.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 1.2.3.6.3

Упростим $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}, \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

$- 7, 1$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Этап 2.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.2.3

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.2.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 7, - 1$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1, 7}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1, 7}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} - 18 \cdot - 4 + 43)}{{((- 4) - 7)}^{3} {((- 4) + 1)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 18$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 72 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.1.4

Добавим $48$ и $72$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (120 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.1.5

Добавим $120$ и $43$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $7$ из $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 3)}^{3}}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $- 11$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 {(- 3)}^{3}}$

Этап 4.2.2.4

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 \cdot - 27}$

Этап 4.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $2$ на $163$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{- 1331 \cdot - 27}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $- 1331$ на $- 27$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{35937}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 1, 7)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 43)}{{((0) - 7)}^{3} {((0) + 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 18$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.4

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.5

Добавим $0$ и $43$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $7$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} \cdot 1^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $43$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 343$ на $1$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = - \frac{86}{343}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{86}{343}$ .

$- \frac{86}{343}$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- 1, 7)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- 1, 7)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(7, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 {(10)}^{2} - 18 \cdot 10 + 43)}{{((10) - 7)}^{3} {((10) + 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 18$ на $10$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 180 + 43)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Добавим $- 180$ и $43$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 137)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Convert $- 137$ to scientific notation.

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $10^{2}$ из $3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2}$ .

$f'' (10) = \frac{2 ((3 - 1.37) \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.5

Вычтем $1.37$ из $3$ .

$f'' (10) = \frac{2 \cdot 1.63 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $2$ на $1.63$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.7

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $7$ из $10$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $10$ и $1$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} \cdot 11^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 11^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $11$ в степень $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 1331}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $3.26$ на $100$ .

$f'' (10) = \frac{326}{27 \cdot 1331}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $27$ на $1331$ .

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Этап 6.2.3.3

Сократим общий множитель $326$ и $35937$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Перепишем $326$ в виде $1 (326)$ .

$f'' (10) = \frac{1 (326)}{35937}$

Этап 6.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.2.1

Перепишем $35937$ в виде $1 (35937)$ .

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Этап 6.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Этап 6.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(7, \infty)$ , поскольку $f'' (10)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(7, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- 1, 7)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(7, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8