Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{12} + 4 x^{2}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{12} + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$12 x^{11} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{11} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{11} + 4 (2 x)$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{11} + 8 x$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{11} + 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{11}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{11}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 11$ .

$12 (11 x^{10}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.1.2.2.3

Умножим $11$ на $12$ .

$132 x^{10} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$132 x^{10} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$132 x^{10} + 8 \cdot 1$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = 132 x^{10} + 8$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $132 x^{10} + 8$ .

$132 x^{10} + 8$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $132 x^{10} + 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$132 x^{10} + 8 = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$132 x^{10} = - 8$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $132 x^{10} = - 8$ на $132$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $132 x^{10} = - 8$ на $132$ .

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 8}{132}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $132$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 8}{132}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x^{10}$ на $1$ .

$x^{10} = \frac{- 8}{132}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $132$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$x^{10} = \frac{4 (- 2)}{132}$

Этап 1.2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $132$ .

$x^{10} = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 33}$

Этап 1.2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{10} = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 33}$

Этап 1.2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{10} = \frac{- 2}{33}$

Этап 1.2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{10} = - \frac{2}{33}$

Этап 1.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[10]{- \frac{2}{33}}$

Этап 1.2.5

Упростим $\pm \sqrt[10]{- \frac{2}{33}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{10}$ .

$x = \pm \sqrt[10]{i^{10} \frac{2}{33}}$

Этап 1.2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt[10]{\frac{2}{33}}$

Этап 1.2.5.3

Перепишем $\sqrt[10]{\frac{2}{33}}$ в виде $\frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

Этап 1.2.5.4

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

Этап 1.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

Этап 1.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

Этап 1.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}, - \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 132 {(0)}^{10} + 8$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 132 \cdot 0 + 8$

Этап 4.2.1.2

Умножим $132$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 8$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$f'' (0) = 8$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

График имеет вогнутость вверх.

Этап 5