Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{5}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.3.4.2

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} (2 x)$

Этап 1.1.1.3.6

Перенесем $2$ влево от ${(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{5} x$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Вынесем множитель $x {(x + 3)}^{4}$ из $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 {(x + 3)}^{5} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x {(x + 3)}^{4}$ из $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4})$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 2 {(x + 3)}^{5} x$

Этап 1.1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x {(x + 3)}^{4}$ из $2 {(x + 3)}^{5} x$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$

Этап 1.1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x {(x + 3)}^{4}$ из $x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5) + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.1.4.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$f' (x) = x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 2 \cdot 3)]$

Этап 1.1.2.1.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 6)]$

Этап 1.1.2.1.2

Добавим $5 x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (7 x + 6)]$

Этап 1.1.2.2

$x {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 6] + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

По правилу суммы производная $7 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Этап 1.1.2.3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Этап 1.1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Этап 1.1.2.3.4

Умножим $7$ на $1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Этап 1.1.2.3.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + 0) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Этап 1.1.2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.6.1

Добавим $7$ и $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} \cdot 7 + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Этап 1.1.2.3.6.2

Перенесем $7$ влево от $x {(x + 3)}^{4}$ .

$7 \cdot (x {(x + 3)}^{4}) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Этап 1.1.2.4

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}] + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.6.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.6.4.2

Умножим $4$ на $1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Этап 1.1.2.6.6

Умножим ${(x + 3)}^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = 7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Этап 1.2.2

Упростим $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Развернем $(7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Этап 1.2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Этап 1.2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.3.1.1

Перенесем $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 (x \cdot x) (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x^{2} (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.2.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 \cdot 4 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.2.1.3.3

Умножим $7$ на $4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.2.1.3.4

Умножим $4$ на $6$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.2.2

Добавим $7 x {(x + 3)}^{4}$ и $7 x {(x + 3)}^{4}$ .

$14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $2 {(x + 3)}^{3}$ из $14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2 {(x + 3)}^{3}$ из $14 x {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем множитель $2 {(x + 3)}^{3}$ из $28 x^{2} {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем множитель $2 {(x + 3)}^{3}$ из $24 x {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Этап 1.2.3.1.4

Вынесем множитель $2 {(x + 3)}^{3}$ из $6 {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.1.5

Вынесем множитель $2 {(x + 3)}^{3}$ из $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2})$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.1.6

Вынесем множитель $2 {(x + 3)}^{3}$ из $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.1.7

Вынесем множитель $2 {(x + 3)}^{3}$ из $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3))$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (x + 3) + 14 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вынесем множитель $7 x$ из $14 x^{2}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 7 x (2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (x + 3) + 7 x (2 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3 + 2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.3

Добавим $x$ и $2 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 x + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3 (1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x \cdot (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.5

Умножим $3$ на $7$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.6

Вынесем множитель $3$ из $12 x + 3 (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x) + 3 (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.6.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (4 x) + 3 (x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x + x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.7

Добавим $4 x$ и $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.8

Вынесем множитель $3$ из $21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $21 x (x + 1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.8.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1) + 5 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x \cdot x + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.10.1

Перенесем $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.11

Умножим $7$ на $1$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x + 5 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.12.1

Добавим $7 x$ и $5 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 {(x + 3)}^{3} \cdot (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.3.13

Умножим $3$ на $2$ .

$6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем ${(x + 3)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем ${(x + 3)}^{3}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим ${(x + 3)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.6

Приравняем $7 x^{2} + 12 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $7 x^{2} + 12 x + 3$ к $0$ .

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.6.2.2

Подставим значения $a = 7$ , $b = 12$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 28$ на $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.3.1.3

Вычтем $84$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.3.1.4

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Этап 1.2.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 28$ на $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.4.1.3

Вычтем $84$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.4.1.4

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Этап 1.2.6.2.4.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 6 + \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.4.5

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{15})}{7}$

Этап 1.2.6.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{15})}{7}$

Этап 1.2.6.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 28$ на $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.5.1.3

Вычтем $84$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.5.1.4

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Этап 1.2.6.2.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 6 - \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.5.5

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{15})}{7}$

Этап 1.2.6.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - (\sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{15})}{7}$

Этап 1.2.6.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$ верно.

$x = - 3, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 3)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = 7 (- 6) {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $7$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 42 {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.2

Добавим $- 6$ и $3$ .

$f'' (- 6) = - 42 {(- 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f'' (- 6) = - 42 \cdot 81 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 42$ на $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.5

Умножим $7$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (- 42 + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.6

Добавим $- 42$ и $6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Добавим $- 6$ и $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 {(- 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.7.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 \cdot - 27) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.7.3

Умножим $- 6 (4 \cdot - 27)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.3.1

Умножим $4$ на $- 27$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 \cdot - 108 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.7.3.2

Умножим $- 6$ на $- 108$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.7.4

Добавим $- 6$ и $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {(- 3)}^{4})$

Этап 4.2.1.7.5

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + 81)$

Этап 4.2.1.8

Добавим $648$ и $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 \cdot 729$

Этап 4.2.1.9

Умножим $- 36$ на $729$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 26244$

Этап 4.2.2

Вычтем $26244$ из $- 3402$ .

$f'' (- 6) = - 29646$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 29646$ .

$- 29646$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (- 6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = 7 (- 2) {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $7$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 14$ на $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.5

Умножим $7$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (- 14 + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.6

Добавим $- 14$ и $6$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.1

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.7.2

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.7.3

Умножим $- 2 (4 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 \cdot 4 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.7.3.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Этап 5.2.1.7.4

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1^{4})$

Этап 5.2.1.7.5

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1)$

Этап 5.2.1.8

Добавим $- 8$ и $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 \cdot - 7$

Этап 5.2.1.9

Умножим $- 8$ на $- 7$ .

$f'' (- 2) = - 14 + 56$

Этап 5.2.2

Добавим $- 14$ и $56$ .

$f'' (- 2) = 42$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $42$ .

$42$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = 7 (- 1) {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 7 {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 2^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 16 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 7$ на $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.5

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (- 7 + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.6

Добавим $- 7$ и $6$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 2^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.7.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 8) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.7.3

Умножим $- 1 (4 \cdot 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.3.1

Умножим $4$ на $8$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 \cdot 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.7.3.2

Умножим $- 1$ на $32$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Этап 6.2.1.7.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 2^{4})$

Этап 6.2.1.7.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 16)$

Этап 6.2.1.8

Добавим $- 32$ и $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 \cdot - 16$

Этап 6.2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + 16$

Этап 6.2.2

Добавим $- 112$ и $16$ .

$f'' (- 1) = - 96$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 96$ .

$- 96$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ , поскольку $f'' (- 1)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 7 (0) {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $7$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 3^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 81 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.4

Умножим $0$ на $81$ .

$f'' (0) = 0 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.5

Умножим $7$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + (0 + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.6

Добавим $0$ и $6$ .

$f'' (0) = 0 + 6 ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.7.1

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 3^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.7.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 27) + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.7.3

Умножим $0 (4 \cdot 27)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.7.3.1

Умножим $4$ на $27$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 \cdot 108 + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.7.3.2

Умножим $0$ на $108$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + {((0) + 3)}^{4})$

Этап 7.2.1.7.4

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 3^{4})$

Этап 7.2.1.7.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 81)$

Этап 7.2.1.8

Добавим $0$ и $81$ .

$f'' (0) = 0 + 6 \cdot 81$

Этап 7.2.1.9

Умножим $6$ на $81$ .

$f'' (0) = 0 + 486$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $486$ .

$f'' (0) = 486$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $486$ .

$486$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9