Математический анализ Примеры

y = x ln (x)

$y = x \ln (x)$

Этап 1

Запишем

y = x ln (x)

$y = x \ln (x)$ в виде функции.

f (x) = x ln (x)

$f (x) = x \ln (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

f (x) = x

$f (x) = x$ и

g (x) = ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

x \frac{d}{d x} [ln (x)] + ln (x) \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.2

Производная

ln (x)

$\ln (x)$ по

x

$x$ равна

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

x \frac{1}{x} + ln (x) \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим

x

$x$ и

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{x}{x} + ln (x) \frac{d}{d x} [x]

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

\frac{x}{x} + ln (x) \frac{d}{d x} [x]

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

1 + ln (x) \frac{d}{d x} [x]

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

1 + ln (x) \frac{d}{d x} [x]

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

1 + ln (x) \cdot 1

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Этап 2.1.3.4

Умножим

ln (x)

$\ln (x)$ на

1

$1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная

$1 + \ln (x)$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2.1.2

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2.2

Производная

$\ln (x)$ по

$x$ равна

$\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Этап 2.2.3

Добавим

$0$ и

$\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Этап 2.3

Вторая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к

$0$ , затем найдем решение уравнения

$\frac{1}{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна

$0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 3.3

Поскольку

$1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной

$0$ .

Нет точек перегиба