Математический анализ Примеры

$y = x \ln (x)$

Этап 1

Запишем $y = x \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x \ln (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Этап 2.1.3.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Этап 2.2.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба