Математический анализ Примеры

$y = x + \cos (2 x)$

Этап 1

Запишем $y = x + \cos (2 x)$ в виде функции.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.1.2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 2.1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Этап 2.1.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $1 - 2 \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Этап 2.2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.2.2.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Этап 2.2.2.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Этап 2.2.3

Вычтем $4 \cos (2 x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- 4 \cos (2 x) = 0$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- 4 \cos (2 x) = 0$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $0$ на $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (0)$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.5.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 3.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.7.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.7.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 3.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 3.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 3.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 3.8

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.9

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{π}{4}$ в $f (x) = x + \cos (2 x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Этап 4.1.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Этап 4.1.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.1.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{π}{4}$ в $f (x) = x + \cos (2 x)$ , найдем точку $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{4})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

Этап 6.3

При $0.68539816$ вторая производная имеет вид $- 0.79467732$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{π}{4})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{4})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{4}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

Этап 7.3

При $0.88539816$ вторая производная имеет вид $0.79467732$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{π}{4}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Этап 9