Математический анализ Примеры

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

Этап 1

Запишем $y = x^{5} + x^{3} - 2$ в виде функции.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} + x^{3} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $5 x^{4} + 3 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $20 x^{3} + 6 x$ .

$20 x^{3} + 6 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $20 x^{3} + 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$20 x^{3} + 6 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $20 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $20 x^{3}$ .

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x$ .

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $10 x^{2} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $10 x^{2} + 3$ к $0$ .

$10 x^{2} + 3 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $10 x^{2} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$10 x^{2} = - 3$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $10 x^{2} = - 3$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $10 x^{2} = - 3$ на $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

Этап 3.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

Этап 3.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

Этап 3.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

Этап 3.5.2.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{10}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Этап 3.5.2.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Этап 3.5.2.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 3.5.2.4.5.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Этап 3.5.2.4.5.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Этап 3.5.2.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.2.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 3.5.2.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Этап 3.5.2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

Этап 3.5.2.4.6.2

Умножим $3$ на $10$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

Этап 3.5.2.4.7

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{30}}{10}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Этап 3.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Этап 3.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Этап 3.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

Этап 4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (0) = - 2$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ , найдем точку $(0, - 2)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, - 2)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $20$ на $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $6$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

Этап 6.2.2

Вычтем $0.6$ из $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.62$ .

$- 0.62$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.62$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $20$ на $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $6$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Этап 7.2.2

Добавим $0.02$ и $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.62$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.62$ .

$0.62$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.62$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Этап 9