Математический анализ Примеры

$y = x^{5} \ln (x)$

Этап 1

Запишем $y = x^{5} \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим $x^{5}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3.2.2.5

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4} \ln (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Этап 2.2.2.2

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.2.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.2.5

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.2.6

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.2.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.2.6.2.3

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.2.6.2.4

Перепишем это выражение.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.2.6.2.5

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Этап 2.2.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $4$ на $5$ .

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Этап 2.2.3.2.2

Добавим $4 x^{3}$ и $5 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Этап 2.2.3.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

Этап 3.2

Вычтем $9 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

Этап 3.3

Разделим каждый член $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ на $20 x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ на $20 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Этап 3.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

Этап 3.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- \frac{9}{20}}$ .

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

Этап 3.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ в $f (x) = x^{5} \ln (x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Этап 4.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Этап 4.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{9}{20}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{20} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 (4)} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Этап 4.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 \cdot 4} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Этап 4.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Этап 4.1.2.4

Перенесем $e^{\frac{9}{20}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (e^{- \frac{9}{20}})$

Этап 4.1.2.5

Развернем $\ln (e^{- \frac{9}{20}})$ , вынося $- \frac{9}{20}$ из логарифма.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot \ln (e))$

Этап 4.1.2.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot 1)$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20})$

Этап 4.1.2.8

Умножим $\frac{1}{e^{\frac{9}{4}}}$ на $\frac{9}{20}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{e^{\frac{9}{4}} \cdot 20}$

Этап 4.1.2.9

Перенесем $20$ влево от $e^{\frac{9}{4}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Этап 4.1.2.10

Окончательный ответ: $- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$ .

$- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ в $f (x) = x^{5} \ln (x)$ , найдем точку $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.53762815$ .

$f'' (0.53762815) = 9 {(0.53762815)}^{3} + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.53762815$ в степень $3$ .

$f'' (0.53762815) = 9 \cdot 0.1553982 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $9$ на $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Этап 6.2.1.3

Возведем $0.53762815$ в степень $3$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 \cdot (0.1553982 \ln (0.53762815))$

Этап 6.2.1.4

Умножим $20$ на $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 3.10796414 \ln (0.53762815)$

Этап 6.2.1.5

Упростим $3.10796414 \ln (0.53762815)$ путем переноса $3.10796414$ под логарифм.

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln ({0.53762815}^{3.10796414})$

Этап 6.2.1.6

Возведем $0.53762815$ в степень $3.10796414$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln (0.14532747)$

Этап 6.2.2

Добавим $1.39858386$ и $\ln (0.14532747)$ .

$f'' (0.53762815) = - 0.53018177$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.53018177$ .

$- 0.53018177$

Этап 6.3

При $0.53762815$ вторая производная имеет вид $- 0.53018177$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.73762815$ .

$f'' (0.73762815) = 9 {(0.73762815)}^{3} + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.73762815$ в степень $3$ .

$f'' (0.73762815) = 9 \cdot 0.40134 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $9$ на $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Этап 7.2.1.3

Возведем $0.73762815$ в степень $3$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 \cdot (0.40134 \ln (0.73762815))$

Этап 7.2.1.4

Умножим $20$ на $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 8.02680006 \ln (0.73762815)$

Этап 7.2.1.5

Упростим $8.02680006 \ln (0.73762815)$ путем переноса $8.02680006$ под логарифм.

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln ({0.73762815}^{8.02680006})$

Этап 7.2.1.6

Возведем $0.73762815$ в степень $8.02680006$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln (0.08692764)$

Этап 7.2.2

Добавим $3.61206002$ и $\ln (0.08692764)$ .

$f'' (0.73762815) = 1.16938082$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $1.16938082$ .

$1.16938082$

Этап 7.3

При $0.73762815$ вторая производная имеет вид $1.16938082$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Этап 9