Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 1

Запишем $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.1.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Этап 2.1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Этап 2.1.4.2.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Этап 2.1.4.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.2.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 3.2.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 3.3

Разложим $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Изменим порядок членов.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Этап 3.3.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Этап 3.3.2.1.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Этап 3.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 3.3.2.1.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 3.3.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 3.3.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Этап 3.3.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Этап 3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $- 2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $- 2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 3.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 3.5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 3.5.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 3.5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 3.5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 3.5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 3.5.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 3.5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.5.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.6

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 3.6.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 3.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 3.6.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 3.6.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.6.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.6.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 3.6.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.6.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.6.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 3.6.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.6.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{π}{6}$ в $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

Этап 4.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 4.1.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

Этап 4.1.2.2.3

Вычтем $3$ из $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{π}{6}$ в $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ , найдем точку $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{6})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ .

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Этап 6.3

При $0.42359877$ вторая производная имеет вид $0.50208433$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Возрастание в области $(- \infty, \frac{π}{6})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{6}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ .

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Этап 7.3

При $0.62359877$ вторая производная имеет вид $- 0.53195951$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{π}{6}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Этап 9