Математический анализ Примеры

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Этап 1

Запишем $y = \sin (x) + \cos (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 2.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\cos (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \sin (x) - \cos (x)$ .

$- \sin (x) - \cos (x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 3.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3.3

Разделим дроби.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3.6.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3.7

Разделим дроби.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 3.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 3.9

Разделим $0$ на $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Этап 3.10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Этап 3.11

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \tan (x) = 1$

Этап 3.12

Разделим каждый член $- \tan (x) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.12.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Этап 3.13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 3.14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 3.15

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 3.16

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 3.16.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 3.17

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.18

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 3.18.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.18.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.18.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 3.18.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 3.18.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 3.18.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 3.19

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{3 π}{4}$ в $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.1.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.1.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Этап 4.1.2.2.3

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{3 π}{4}$ в $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , найдем точку $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Этап 4.3

Подставим $\frac{3 π}{4}$ в $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.3.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.3.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.3.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.2.3

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.4

Подставляя $\frac{3 π}{4}$ в $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , найдем точку $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.25619449$ .

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ .

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Этап 6.3

При $2.25619449$ вторая производная имеет вид $- 0.14118577$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.45619449$ .

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ .

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Этап 7.3

При $2.45619449$ вторая производная имеет вид $0.14118577$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Этап 9