Математический анализ Примеры

$y = - \sin (x)$

Этап 1

Запишем $y = - \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = - \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = - \cos (x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Этап 2.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Этап 2.2.3.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.5

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.8

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Подставляя в $f (x) = - \sin (x)$ , найдем точку $(,)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(,)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty,)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.09983341$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty,)$ .

Убывание на $(- \infty,)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.09983341$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(, \infty)$ .

Возрастание в области $(, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(,)$ .

$(,)$

Этап 9