Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{2} + 1)$

Этап 1

Запишем $y = \ln (x^{2} + 1)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 2.1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 2.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

Этап 2.1.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

Этап 2.1.2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

Этап 2.1.2.4.3

Объединим $\frac{2}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.3.2

Умножим $x^{2} + 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2.9

Объединим $2$ и $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.10.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} = - 2$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Этап 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ в $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Этап 4.1.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Этап 4.2

Подставляя $1$ в $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ , найдем точку $(1, \ln (2))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1, \ln (2))$

Этап 4.3

Подставим $- 1$ в $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

Этап 4.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Этап 4.4

Подставляя $- 1$ в $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ , найдем точку $(- 1, \ln (2))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, \ln (2))$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $- 2.42$ и $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1.21$ и $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $2.21$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Этап 6.2.3

Разделим $- 0.42$ на $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Этап 6.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $- 0.08599332$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Добавим $0$ и $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Этап 7.2.3

Разделим $2$ на $1$ .

$f'' (0) = 2$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 7.3

При $0$ вторая производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1, 1)$ .

Возрастание в области $(- 1, 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $1.1$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Добавим $- 2.42$ и $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $1.1$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $1.21$ и $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $2.21$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Этап 8.2.3

Разделим $- 0.42$ на $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Этап 8.3

При $1.1$ вторая производная имеет вид $- 0.08599332$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(1, \infty)$ .

Убывание на $(1, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

Этап 10