Математический анализ Примеры

$y = - 5 x - \frac{35}{x}$

Этап 1

Запишем $y = - 5 x - \frac{35}{x}$ в виде функции.

$f (x) = - 5 x - \frac{35}{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 5 x - \frac{35}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 35$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{35}{x}$ по $x$ равна $- 35 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 5 - 35 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- 5 - 35 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 5 - 35 (- x^{- 2})$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $- 35$ .

$- 5 + 35 x^{- 2}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 + 35 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.1.4.2

Объединим $35$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 5 + \frac{35}{x^{2}}$

Этап 2.1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{35}{x^{2}} - 5$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{35}{x^{2}} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{35}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{35}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{35}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $35$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{35}{x^{2}}$ по $x$ равна $35 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$35 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$35 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$35 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$35 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$35 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$35 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$35 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$35 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$35 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$35 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$35 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$35 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2.10

Умножим $- 2$ на $35$ .

$- 70 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 70 x^{- 3} + 0$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 70 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Этап 2.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Объединим $- 70$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 70}{x^{3}} + 0$

Этап 2.2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{70}{x^{3}} + 0$

Этап 2.2.4.2.3

Добавим $- \frac{70}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{70}{x^{3}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{70}{x^{3}}$ .

$- \frac{70}{x^{3}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{70}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{70}{x^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$70 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $70 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба