Математический анализ Примеры

$y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Этап 1

Запишем $y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ в виде функции.

$f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} + 3 x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$20 x^{3} + 3 (5 x^{4})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $5$ на $3$ .

$20 x^{3} + 15 x^{4}$

Этап 2.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $15 x^{4} + 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Этап 2.2.3.3

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $60 x^{2}$ из $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $60 x^{2}$ из $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $60 x^{2}$ из $60 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $60 x^{2}$ из $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ .

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $60 x^{2} (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{5}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 3 {(0)}^{5}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{5}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $- 1$ в $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{5}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{5}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f (- 1) = 5 + 3 {(- 1)}^{5}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- 1) = 5 + 3 \cdot - 1$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 3$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$f (- 1) = 2$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 4.4

Подставляя $- 1$ в $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ , найдем точку $(- 1, 2)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, 2)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 1, 2)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{3} + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot - 1.331 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $60$ на $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 \cdot 1.21$

Этап 6.2.1.4

Умножим $60$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 72.6$

Этап 6.2.2

Добавим $- 79.86$ и $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 7.26$ .

$- 7.26$

Этап 6.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $- 7.26$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (15) (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{- 1}{2}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Объединим $15$ и $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 \cdot - 1}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $15$ на $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Этап 7.2.1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Этап 7.2.1.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Этап 7.2.1.11

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Этап 7.2.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{2^{2}})$

Этап 7.2.1.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{4})$

Этап 7.2.1.14

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.14.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 (15) (\frac{1}{4})$

Этап 7.2.1.14.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{1}{4}))$

Этап 7.2.1.14.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.3

Объединим $15$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 15 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $15$ на $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 30}{2}$

Этап 7.2.5.2

Добавим $- 15$ и $30$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{15}{2}$ .

$\frac{15}{2}$

Этап 7.3

При $- \frac{1}{2}$ вторая производная имеет вид $7.5$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1, 0)$ .

Возрастание в области $(- 1, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $60$ на $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 \cdot 0.01$

Этап 8.2.1.4

Умножим $60$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 0.6$

Этап 8.2.2

Добавим $0.06$ и $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.66$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0.66$ .

$0.66$

Этап 8.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.66$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- 1, 2)$ .

$(- 1, 2)$

Этап 10