Математический анализ Примеры

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Этап 1

Запишем $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ в виде функции.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Умножим $\frac{4}{x}$ на $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.5.2

Объединим $\frac{4}{x}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.5.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.5.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.5.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.5.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.5.3.2.5

Разделим $4 x$ на $1$ .

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.6

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.7.2

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.7.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.3.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.7.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.9

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Этап 2.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Этап 2.1.11.2

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Этап 2.1.11.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x \ln (\frac{x}{4})$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.2

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.8

Умножим $\frac{4}{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.9

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.10

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.11

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.12

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.12.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.12.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.13

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.14

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.14.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.14.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2.15

Умножим $\ln (\frac{x}{4})$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

Этап 2.2.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Этап 2.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Умножим $10$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $10$ и $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

Этап 3.3

Разделим каждый член $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ на $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $\ln (\frac{x}{4})$ на $1$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 15$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

Этап 3.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Упростим $4 e^{- \frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.6.3.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ в $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Этап 4.1.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Этап 4.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Этап 4.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Этап 4.1.2.4

Умножим $5 \frac{16}{e^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Объединим $5$ и $\frac{16}{e^{3}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $5$ на $16$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Этап 4.1.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 4.1.2.6

Объединим.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Этап 4.1.2.7

Сократим выражение $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Этап 4.1.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Этап 4.1.2.8

Перенесем $e^{\frac{3}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Этап 4.1.2.9

Развернем $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ , вынося $- \frac{3}{2}$ из логарифма.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Этап 4.1.2.10

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Этап 4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Этап 4.1.2.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Этап 4.1.2.12.2

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Этап 4.1.2.12.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Этап 4.1.2.12.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

Этап 4.1.2.13

Объединим $\frac{40}{e^{3}}$ и $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

Этап 4.1.2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.14.1

Умножим $40$ на $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

Этап 4.1.2.14.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

Этап 4.1.2.15

Окончательный ответ: $- \frac{120}{e^{3}}$ .

$- \frac{120}{e^{3}}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ в $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ , найдем точку $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.79252064$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Разделим $0.79252064$ на $4$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

Этап 6.2.1.2

Упростим $10 \ln (0.19813016)$ путем переноса $10$ под логарифм.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

Этап 6.2.1.3

Возведем $0.19813016$ в степень $10$ .

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $\ln (0.00000009) + 15$ .

$\ln (0.00000009) + 15$

Этап 6.3

При $0.79252064$ вторая производная имеет вид $- 1.18831089$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.99252064$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Разделим $0.99252064$ на $4$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

Этап 7.2.1.2

Упростим $10 \ln (0.24813016)$ путем переноса $10$ под логарифм.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

Этап 7.2.1.3

Возведем $0.24813016$ в степень $10$ .

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $\ln (0.00000088) + 15$ .

$\ln (0.00000088) + 15$

Этап 7.3

При $0.99252064$ вторая производная имеет вид $1.06198168$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ .

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Этап 9