Математический анализ Примеры

$\frac{x}{x + 1}$

Этап 1

Запишем $\frac{x}{x + 1}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.6.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ в виде ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Этап 2.1.2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Этап 2.1.2.3.4.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Этап 2.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 2.2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{- 27}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = \frac{2}{27}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- 1, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) + 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим $2$ на $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- 1, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- 1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- 1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8