Математический анализ Примеры

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x}{1 - x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.2

Умножим $1 - x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.3

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.7

Добавим $- x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.8

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.2.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = - x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.2

По правилу суммы производная $- x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.7.1

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.7.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + 4 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.1

Перепишем ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 ((- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.2

Развернем $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.4

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.6

Умножим $- x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.1.7

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{4} x - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.7.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.7.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.8

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.9.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.9.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{1 + 2} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.9.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.9.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.10

Развернем $(4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3} + x) + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.2

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 0 + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.1.11.3

Добавим $- 4 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.2

Вычтем $4 x^{5}$ из $2 x^{5}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3.3

Добавим $2 x$ и $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.4.4.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u$ .

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 (u) + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.4.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$\frac{2 x (- u^{2} + (1 - 3) u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (- u^{2} + 1 u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.4.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{2 x (- u^{2} + u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 x ((- u^{2} + u) - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x (u (- u + 1) + 3 (- u + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 1$ .

$\frac{2 x ((- u + 1) (u + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.7

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((1^{2} - x^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.4.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.5.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.5.3

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.5.4

Применим правило умножения к $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.6

Сократим общий множитель $1 + x$ и ${(1 + x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.6.1

Вынесем множитель $1 + x$ из $2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.6.2.1

Вынесем множитель $1 + x$ из ${(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}$ .

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Этап 2.1.2.5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Этап 2.1.2.5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.7

Сократим общий множитель $1 - x$ и ${(1 - x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.7.1

Вынесем множитель $1 - x$ из $(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.7.2.1

Вынесем множитель $1 - x$ из ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}$ .

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Этап 2.1.2.5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Этап 2.1.2.5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.3.3

Приравняем $x^{2} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Приравняем $x^{2} + 3$ к $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.2.3.3.2

Решим $x^{2} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 3$

Этап 2.2.3.3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 2.2.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 2.2.3.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x^{2} + 3) = 0$ верно.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{1 - x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 3.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 1, - 1}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 1, - 1}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 + 4)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} \cdot 5^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 5^{3}}$

Этап 5.2.2.5

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $16$ и $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 27 \cdot 125}$

Этап 5.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $- 27$ на $125$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 3375}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $- 8$ на $19$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 152}{- 3375}$

Этап 5.2.4.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f'' (- 4) = \frac{152}{3375}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{152}{3375}$ .

$\frac{152}{3375}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- 1, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Избавимся от скобок.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $0.5$ из $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 + 0.5)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $1$ и $0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} \cdot {1.5}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot {1.5}^{3}}$

Этап 6.2.2.5

Возведем $1.5$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Этап 6.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 (0.25 + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Этап 6.2.3.2

Добавим $0.25$ и $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.125 \cdot 3.375}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $0.125$ на $3.375$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.421875}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $- 1$ на $3.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 3.25}{0.421875}$

Этап 6.2.4.3

Разделим $- 3.25$ на $0.421875$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.\overline{703}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- 7.\overline{703}$ .

$- 7.\overline{703}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- 1, 0)$ , поскольку $f'' (- 0.5)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- 1, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(0, 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $2$ на $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{1 ({0.5}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Умножим ${0.5}^{2} + 3$ на $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Этап 7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Добавим $1$ и $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - 0.5)}^{3}}$

Этап 7.2.3.3

Вычтем $0.5$ из $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} \cdot {0.5}^{3}}$

Этап 7.2.3.4

Возведем $1.5$ в степень $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot {0.5}^{3}}$

Этап 7.2.3.5

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Этап 7.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{0.25 + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Этап 7.2.4.2

Добавим $0.25$ и $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{3.375 \cdot 0.125}$

Этап 7.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $3.375$ на $0.125$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{0.421875}$

Этап 7.2.5.2

Разделим $3.25$ на $0.421875$ .

$f'' (0.5) = 7.\overline{703}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $7.\overline{703}$ .

$7.\overline{703}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(0, 1)$ , поскольку $f'' (0.5)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

Подставим любое число из интервала $(1, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Избавимся от скобок.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Этап 8.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - 4)}^{3}}$

Этап 8.2.2.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(- 3)}^{3}}$

Этап 8.2.2.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 {(- 3)}^{3}}$

Этап 8.2.2.5

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 \cdot - 27}$

Этап 8.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 3)}{125 \cdot - 27}$

Этап 8.2.3.2

Добавим $16$ и $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{125 \cdot - 27}$

Этап 8.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $125$ на $- 27$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{- 3375}$

Этап 8.2.4.2

Умножим $8$ на $19$ .

$f'' (4) = \frac{152}{- 3375}$

Этап 8.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (4) = - \frac{152}{3375}$

Этап 8.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{152}{3375}$ .

$- \frac{152}{3375}$

Этап 8.3

График вогнут вниз на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 9

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- 1, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(0, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 10