Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (x)$

Этап 1

Запишем $\sin^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.1.1.3.2

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 2.1.1.3.3

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.1.1.3.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Этап 2.1.2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 \cos (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (2 x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (2 x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Этап 2.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (0)$

Этап 2.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 2.2.5

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.2.5.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.2.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.7.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.2.7.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.2.7.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.2.7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.2.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.2.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.2.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.2.7.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.2.8

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.2.8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.9

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

Этап 5.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

Этап 5.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (0) = 2$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6