Математический анализ Примеры

$- e^{x} (x - 5)$

Этап 1

Запишем $- e^{x} (x - 5)$ в виде функции.

$f (x) = - e^{x} (x - 5)$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x} (x - 5)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - 5$ .

$- (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.1.1.3.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (e^{x} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- (e^{x} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.1.1.3.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$- (e^{x} + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- (e^{x} + (x - 5) e^{x})$

Этап 2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (e^{x} + x e^{x} - 5 e^{x})$

Этап 2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- e^{x} - (x e^{x}) - (- 5 e^{x})$

Этап 2.1.1.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.3.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$- e^{x} - x e^{x} + 5 e^{x}$

Этап 2.1.1.5.3.2

Добавим $- e^{x}$ и $5 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x}$

Этап 2.1.1.5.4

Изменим порядок членов.

$- e^{x} x + 4 e^{x}$

Этап 2.1.1.5.5

Изменим порядок множителей в $- e^{x} x + 4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $- x e^{x} + 4 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Этап 2.1.2.2.2

$- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Этап 2.1.2.2.3

$- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Этап 2.1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.1.2.3.2

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 e^{x}$

Этап 2.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x e^{x}) - e^{x} + 4 e^{x}$

Этап 2.1.2.4.2

Добавим $- e^{x}$ и $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 2.1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

Этап 2.1.2.4.4

Изменим порядок множителей в $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.2.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.2.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.2.5

Приравняем $- x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $- x + 3$ к $0$ .

$- x + 3 = 0$

Этап 2.2.5.2

Решим $- x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 2.2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (- x + 3) = 0$ верно.

$x = 3$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 3)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} + 3 e^{0}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 3 e^{0}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 e^{0}$

Этап 5.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3$

Этап 5.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = 3$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, 3)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(3, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f'' (6) = - 6 \cdot e^{6} + 3 e^{6}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $- 6 e^{6}$ и $3 e^{6}$ .

$f'' (6) = - 3 e^{6}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $- 3 e^{6}$ .

$- 3 e^{6}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8