Математический анализ Примеры

$A (x) = x \sqrt{x + 5}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.3

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.9

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.12.2

Умножим $\frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.1.14

Умножим ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.1.15

Чтобы записать ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.16

Объединим ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18

Умножим ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.18.1

Перенесем ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.19

Упростим ${(x + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.20

Перенесем $2$ влево от $x + 5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 5)}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 5}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.21.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21.2.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x + 10$ и $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.4

Упростим.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

По правилу суммы производная $3 x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.5.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.5.5

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.5.6.2

Перенесем $3$ влево от ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.11.3

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.12

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.14

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 5}$

Этап 1.1.2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 5}$

Этап 1.1.2.15.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$

Этап 1.1.2.15.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x + 5)}$

Этап 1.1.2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 5)}$

Этап 1.1.2.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.3.1

Добавим круглые скобки.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.2

Пусть $u_{2} = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.3.2.2.1

Перенесем $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.2.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.3.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.3.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.3.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.4.1.2

Упростим.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 6 \cdot 5 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.4.1.4

Умножим $6$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 30 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.4.2

Вычтем $3 x$ из $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 30 - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.3.4.3

Вычтем $10$ из $30$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.1.2.16.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$

Этап 1.1.2.16.4.2

Перепишем $\frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 10}$

Этап 1.1.2.16.4.3

Умножим $\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 x + 10}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 10)}$

Этап 1.1.2.16.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 10)}$

Этап 1.1.2.16.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 5)}$

Этап 1.1.2.16.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 5))}$

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 5))}$

Этап 1.1.2.16.5.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.5.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (x + 5)}$

Этап 1.1.2.16.5.2.2

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 ((x + 5) {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.1.2.16.5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.16.5.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.16.5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 1.1.2.16.5.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $A (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 x + 20 = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 20$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $3 x = - 20$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 20$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 20}{3}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{20}{3}$

Этап 1.2.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 2

Найдем область определения $A (x) = x \sqrt{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 5}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 5 \geq 0$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 5$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 5}$

Интервальное представление:

$[- 5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 5}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$[- 5, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $[- 5, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$A'' (0) = \frac{3 (0) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $3 (0)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot 5}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 \cdot (0)) + 4 (5)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 ({((0) + 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 4.2.4.2

Сократим общий множитель.

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.4.3

Перепишем это выражение.

$A'' (0) = \frac{3 \cdot (0) + 5}{{((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $3$ на $0$ .

$A'' (0) = \frac{0 + 5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.5.2

Добавим $0$ и $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Добавим $0$ и $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{5^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.6.2

Перенесем $5^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Этап 4.2.7

Умножим $5^{\frac{3}{2}}$ на $5^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1}}$

Этап 4.2.7.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.7.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.2.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.2.7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Этап 4.2.7.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.8

Окончательный ответ: $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $[- 5, \infty)$ , поскольку $A'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $[- 5, \infty)$ , поскольку $A'' (x)$ больше нуля

Этап 5