Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 + 4 x^{2} - x^{4}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $4 + 4 x^{2} - x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Добавим $0$ и $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Этап 1.1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x^{2} + 8$ .

$- 12 x^{2} + 8$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x^{2} + 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 12 x^{2} + 8 = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 12 x^{2} = - 8$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $- 12 x^{2} = - 8$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $- 12 x^{2} = - 8$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 8}{- 12}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 8}{- 12}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 12}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 8$ .

$x^{2} = \frac{- 4 (2)}{- 12}$

Этап 1.2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 12$ .

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{2}{3}$

Этап 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 1.2.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.2.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 1.2.5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 1.2.5.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 1.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 1.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 1.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 12 {(- 3)}^{2} + 8$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f'' (- 3) = - 12 \cdot 9 + 8$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 12$ на $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 8$

Этап 4.2.2

Добавим $- 108$ и $8$ .

$f'' (- 3) = - 100$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 100$ .

$- 100$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ , поскольку $f'' (- 3)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 8$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 8$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 8$

Этап 5.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$f'' (0) = 8$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = - 12 {(3)}^{2} + 8$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = - 12 \cdot 9 + 8$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 12$ на $9$ .

$f'' (3) = - 108 + 8$

Этап 6.2.2

Добавим $- 108$ и $8$ .

$f'' (3) = - 100$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 100$ .

$- 100$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (3)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8