Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 24 x^{3} + 30 x^{2}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 24 x^{3} + 30 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x^{3}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 x^{2}$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 30 (2 x)$

Этап 1.1.1.4.3

Умножим $2$ на $30$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 60 x$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 72 x^{2} + 60 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Этап 1.1.2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72 x^{2}$ по $x$ равна $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x)$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 72$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (60 x)$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60 \cdot 1$

Этап 1.1.2.4.3

Умножим $60$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} - 144 x + 60$ .

$36 x^{2} - 144 x + 60$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} - 144 x + 60 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x^{2} - 144 x + 60 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2} - 144 x + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 144 x + 60 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $12$ из $- 144 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x) + 60 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $12$ из $60$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x) + 12 (5) = 0$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 12 x) + 12 (5) = 0$

Этап 1.2.2.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{2} - 12 x) + 12 (5)$ .

$12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ на $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 12 x + 5)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (3 x^{2} - 12 x + 5)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 12 x + 5$ на $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 5 = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 5 = 0$

Этап 1.2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 12$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.3

Вычтем $60$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $84$ в виде $2^{2} \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.3

Вычтем $60$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.4

Перепишем $84$ в виде $2^{2} \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Этап 1.2.7.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Этап 1.2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{21}}{3}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.3

Вычтем $60$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.4

Перепишем $84$ в виде $2^{2} \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Этап 1.2.8.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Этап 1.2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{21}}{3}$

Этап 1.2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \frac{6 - \sqrt{21}}{3}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0 + 60$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 144 \cdot 0 + 60$

Этап 4.2.1.2

Умножим $36$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 144 \cdot 0 + 60$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 144$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 60$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = 0 + 60$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $60$ .

$f'' (0) = 60$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $60$ .

$60$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = 36 {(2)}^{2} - 144 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = 36 \cdot 4 - 144 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $4$ .

$f'' (2) = 144 - 144 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 144$ на $2$ .

$f'' (2) = 144 - 288 + 60$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $288$ из $144$ .

$f'' (2) = - 144 + 60$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 144$ и $60$ .

$f'' (2) = - 84$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 84$ .

$- 84$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ , поскольку $f'' (2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f'' (6) = 36 {(6)}^{2} - 144 \cdot 6 + 60$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f'' (6) = 36 \cdot 36 - 144 \cdot 6 + 60$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $36$ .

$f'' (6) = 1296 - 144 \cdot 6 + 60$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 144$ на $6$ .

$f'' (6) = 1296 - 864 + 60$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $864$ из $1296$ .

$f'' (6) = 432 + 60$

Этап 6.2.2.2

Добавим $432$ и $60$ .

$f'' (6) = 492$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $492$ .

$492$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (6)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8