Математический анализ Примеры

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Запишем $y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.6.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.6.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.1.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.1.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Этап 2.1.1.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Этап 2.1.1.10.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 2.1.1.10.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 2.1.1.10.4

Объединим $\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.8.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.9.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.9.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.10

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.13.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.13.4

Объединим $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.17

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.19

Чтобы записать ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.20

Объединим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.22

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.22.1

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.22.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.22.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.22.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.23

Упростим ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.24

Перенесем $3$ влево от $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.25

Перепишем $\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ в виде произведения.

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.1.2.26

Умножим $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.27

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.27.1

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 2.1.2.27.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.27.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Этап 2.1.2.27.4

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.28

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 2.1.2.29

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.30.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.30.3.1.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.3.1.2

Умножим $4 (3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.30.3.1.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.3.1.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 x^{2} + 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.3.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 12 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.3.2

Вычтем $8 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.30.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.4.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2.30.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (x^{2} + 3) = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $4 (x^{2} + 3) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим каждый член $4 (x^{2} + 3) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2} + 3$ на $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 3$

Этап 2.2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 2.2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 2.2.3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} + 3)}{9 {({(0)}^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 (0 + 3)}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5.2.1.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f'' (0) = \frac{12}{9 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $9$ на $1$ .

$f'' (0) = \frac{12}{9}$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$f'' (0) = \frac{3 (4)}{9}$

Этап 5.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Этап 5.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Этап 5.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

График имеет вогнутость вверх.

Этап 6