Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем вторую производную.
Этап 2.1.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.1.2
Продифференцируем.
Этап 2.1.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.1.2.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.1.2.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.1.2.4
Умножим на .
Этап 2.1.1.2.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.1.2.6
Упростим выражение.
Этап 2.1.1.2.6.1
Добавим и .
Этап 2.1.1.2.6.2
Перенесем влево от .
Этап 2.1.1.2.7
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.1.2.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.1.2.9
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.1.2.10
Упростим выражение.
Этап 2.1.1.2.10.1
Добавим и .
Этап 2.1.1.2.10.2
Умножим на .
Этап 2.1.1.3
Упростим.
Этап 2.1.1.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.1.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.1.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.1.3.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.1.3.5
Упростим числитель.
Этап 2.1.1.3.5.1
Упростим каждый член.
Этап 2.1.1.3.5.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.1.1.3.5.1.1.1
Перенесем .
Этап 2.1.1.3.5.1.1.2
Умножим на .
Этап 2.1.1.3.5.1.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.1.1.3.5.1.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.1.3.5.1.1.3
Добавим и .
Этап 2.1.1.3.5.1.2
Умножим на .
Этап 2.1.1.3.5.1.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.1.1.3.5.1.3.1
Перенесем .
Этап 2.1.1.3.5.1.3.2
Умножим на .
Этап 2.1.1.3.5.1.3.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.1.1.3.5.1.3.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.1.3.5.1.3.3
Добавим и .
Этап 2.1.1.3.5.1.4
Умножим на .
Этап 2.1.1.3.5.1.5
Умножим на .
Этап 2.1.1.3.5.2
Объединим противоположные члены в .
Этап 2.1.1.3.5.2.1
Вычтем из .
Этап 2.1.1.3.5.2.2
Добавим и .
Этап 2.1.1.3.5.3
Добавим и .
Этап 2.1.1.3.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.1.3.7
Упростим знаменатель.
Этап 2.1.1.3.7.1
Перепишем в виде .
Этап 2.1.1.3.7.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 2.1.1.3.7.3
Применим правило умножения к .
Этап 2.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 2.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Этап 2.1.2.3.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.4
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.5
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.5.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.1.2.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.5.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.1.2.6
Продифференцируем.
Этап 2.1.2.6.1
Перенесем влево от .
Этап 2.1.2.6.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2.6.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.6.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.2.6.5
Упростим выражение.
Этап 2.1.2.6.5.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.6.5.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.7
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.7.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.1.2.7.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.7.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.1.2.8
Продифференцируем.
Этап 2.1.2.8.1
Перенесем влево от .
Этап 2.1.2.8.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2.8.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.8.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.2.8.5
Объединим дроби.
Этап 2.1.2.8.5.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.8.5.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.8.5.3
Объединим и .
Этап 2.1.2.8.5.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.2.9
Упростим.
Этап 2.1.2.9.1
Применим правило умножения к .
Этап 2.1.2.9.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.9.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.9.4
Упростим числитель.
Этап 2.1.2.9.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.4.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.4.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.4.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.4.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.4.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.4.2
Объединим показатели степеней.
Этап 2.1.2.9.4.2.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.2.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.3
Упростим каждый член.
Этап 2.1.2.9.4.3.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 2.1.2.9.4.3.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.9.4.3.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.9.4.3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.9.4.3.2
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 2.1.2.9.4.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 2.1.2.9.4.3.2.1.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.3.2.1.2
Перенесем влево от .
Этап 2.1.2.9.4.3.2.1.3
Перепишем в виде .
Этап 2.1.2.9.4.3.2.1.4
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.3.2.1.5
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.3.2.2
Добавим и .
Этап 2.1.2.9.4.3.2.3
Добавим и .
Этап 2.1.2.9.4.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.9.4.3.4
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.1.2.9.4.3.4.1
Перенесем .
Этап 2.1.2.9.4.3.4.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.3.5
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.3.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.9.4.3.7
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.1.2.9.4.3.7.1
Перенесем .
Этап 2.1.2.9.4.3.7.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.3.8
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.4.4
Объединим противоположные члены в .
Этап 2.1.2.9.4.4.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.9.4.4.2
Добавим и .
Этап 2.1.2.9.4.5
Вычтем из .
Этап 2.1.2.9.4.6
Вычтем из .
Этап 2.1.2.9.5
Объединим термины.
Этап 2.1.2.9.5.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.1.2.9.5.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.1.2.9.5.1.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.5.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.1.2.9.5.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.1.2.9.5.2.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.5.3
Сократим общий множитель и .
Этап 2.1.2.9.5.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.5.3.2
Сократим общие множители.
Этап 2.1.2.9.5.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.5.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.2.9.5.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.2.9.5.4
Сократим общий множитель и .
Этап 2.1.2.9.5.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.5.4.2
Сократим общие множители.
Этап 2.1.2.9.5.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.5.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.2.9.5.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.2.9.6
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.7
Перепишем в виде .
Этап 2.1.2.9.8
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.9.9
Перепишем в виде .
Этап 2.1.2.9.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.2.9.11
Умножим на .
Этап 2.1.2.9.12
Умножим на .
Этап 2.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 2.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 2.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 2.2.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 2.2.3
Решим уравнение относительно .
Этап 2.2.3.1
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.2.3.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.2.3.1.2
Упростим левую часть.
Этап 2.2.3.1.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.2.3.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.3.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.2.3.1.3
Упростим правую часть.
Этап 2.2.3.1.3.1
Разделим на .
Этап 2.2.3.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2.2.3.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.2.3.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.2.3.3.2
Упростим левую часть.
Этап 2.2.3.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.2.3.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.3.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.2.3.3.3
Упростим правую часть.
Этап 2.2.3.3.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.3.4
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 2.2.3.5
Упростим .
Этап 2.2.3.5.1
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.5.1.1
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.5.1.2
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.5.2
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2.2.3.5.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 2.2.3.5.4
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.5.5
Любой корень из равен .
Этап 2.2.3.5.6
Умножим на .
Этап 2.2.3.5.7
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 2.2.3.5.7.1
Умножим на .
Этап 2.2.3.5.7.2
Возведем в степень .
Этап 2.2.3.5.7.3
Возведем в степень .
Этап 2.2.3.5.7.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.3.5.7.5
Добавим и .
Этап 2.2.3.5.7.6
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.5.7.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 2.2.3.5.7.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.2.3.5.7.6.3
Объединим и .
Этап 2.2.3.5.7.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 2.2.3.5.7.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.3.5.7.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.3.5.7.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 2.2.3.5.8
Объединим и .
Этап 2.2.3.6
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.2.3.6.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 2.2.3.6.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 2.2.3.6.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 3
Этап 3.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 3.2
Решим относительно .
Этап 3.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 3.2.2
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 3.2.3
Любой корень из равен .
Этап 3.2.4
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 3.2.4.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 3.2.4.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 3.2.4.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 3.3
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 4
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим числитель.
Этап 5.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.3
Добавим и .
Этап 5.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 5.2.2.1
Добавим и .
Этап 5.2.2.2
Вычтем из .
Этап 5.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 5.2.2.4
Возведем в степень .
Этап 5.2.3
Умножим.
Этап 5.2.3.1
Умножим на .
Этап 5.2.3.2
Умножим на .
Этап 5.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим числитель.
Этап 6.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.3
Добавим и .
Этап 6.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 6.2.2.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.2.2
Перепишем в виде .
Этап 6.2.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.2.4
Применим правило умножения к .
Этап 6.2.2.5
Возведем в степень .
Этап 6.2.2.6
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 6.2.2.6.1
Перенесем .
Этап 6.2.2.6.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.2.2.6.3
Добавим и .
Этап 6.2.3
Умножим на .
Этап 6.2.4
Упростим знаменатель.
Этап 6.2.4.1
Вычтем из .
Этап 6.2.4.2
Возведем в степень .
Этап 6.2.5
Упростим выражение.
Этап 6.2.5.1
Умножим на .
Этап 6.2.5.2
Разделим на .
Этап 6.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим числитель.
Этап 7.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.2.1.3
Добавим и .
Этап 7.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 7.2.2.1
Добавим и .
Этап 7.2.2.2
Вычтем из .
Этап 7.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 7.2.2.4
Возведем в степень .
Этап 7.2.3
Умножим.
Этап 7.2.3.1
Умножим на .
Этап 7.2.3.2
Умножим на .
Этап 7.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 8
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 9