Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 2.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 2.1.1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 2.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Этап 2.1.1.3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Этап 2.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Этап 2.1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Этап 2.1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Этап 2.1.1.4.2.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16

Объединим $- 2$ и $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.18.2.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.18.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 1)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.18.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.1.2.18.10

Умножим $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{2} - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{2} - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 1$ на $1$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 1$

Этап 2.2.3.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.2.3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Этап 2.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 2.2.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.2.3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.2.3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.2.3.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2} + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 3.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 (3 {(- 3)}^{2} - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 (3 \cdot 9 - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 (27 - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Вычтем $1$ из $27$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{{(9 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $9$ и $1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{10^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{1000}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $26$ .

$f'' (- 3) = \frac{52}{1000}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $52$ и $1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 (13)}{1000}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1000$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

Этап 5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

Этап 5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (- 3)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (0) = \frac{- 2}{1}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$f'' (0) = - 2$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = \frac{2 (3 {(3)}^{2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f'' (3) = \frac{2 (3 {(3)}^{2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (3) = \frac{2 (3^{1 + 2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (3) = \frac{2 (3^{3} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (3) = \frac{2 (27 - 1)}{{(3^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{{(3^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{{(9 + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.3.2

Добавим $9$ и $1$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{10^{3}}$

Этап 7.2.3.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{1000}$

Этап 7.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $2$ на $26$ .

$f'' (3) = \frac{52}{1000}$

Этап 7.2.4.2

Сократим общий множитель $52$ и $1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$f'' (3) = \frac{4 (13)}{1000}$

Этап 7.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1000$ .

$f'' (3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

Этап 7.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

Этап 7.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (3)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9