Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $7 x + 5 x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{- 1}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$7 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$7 + 5 (- x^{- 2})$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$7 - 5 x^{- 2}$

Этап 1.1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $- 5 x^{- 2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{- 2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.2.2.3

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x^{- 3} + 0$

Этап 1.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $10 x^{- 3}$ и $0$ .

$10 x^{- 3}$

Этап 1.1.2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.1.2.4.3

Объединим $10$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{10}{x^{3}}$ .

$\frac{10}{x^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{10}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{10}{x^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$10 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $10 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим основание в $x^{- 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{10}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{10}{- 8}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $10$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (5)}{- 8}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 2) = \frac{5}{- 4}$

Этап 4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 2) = - \frac{5}{4}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{10}{{(2)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{10}{8}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $10$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f'' (2) = \frac{2 (5)}{8}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (2) = \frac{5}{4}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7