Математический анализ Примеры

$f (x) = x {(6 - x)}^{2}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем ${(6 - x)}^{2}$ в виде $(6 - x) (6 - x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((6 - x) (6 - x)))$

Этап 1.1.1.2

Развернем $(6 - x) (6 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 (6 - x) - x (6 - x)))$

Этап 1.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)))$

Этап 1.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

Этап 1.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

Этап 1.1.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)))$

Этап 1.1.1.3.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)))$

Этап 1.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))$

Этап 1.1.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))$

Этап 1.1.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))$

Этап 1.1.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}))$

Этап 1.1.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}))$

Этап 1.1.1.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 12 x + x^{2}))$

Этап 1.1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 36 - 12 x + x^{2}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (36 - 12 x + x^{2}) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

По правилу суммы производная $36 - 12 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (36) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5.2

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x (0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5.4

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (- 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5.6

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = x (- 12 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \cdot 1$

Этап 1.1.1.5.9

Умножим $36 - 12 x + x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Этап 1.1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x \cdot - 12 + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Этап 1.1.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.2.1

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$f' (x) = - 12 \cdot x + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Этап 1.1.1.6.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Этап 1.1.1.6.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Этап 1.1.1.6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{1 + 1} + 36 - 12 x + x^{2}$

Этап 1.1.1.6.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{2} + 36 - 12 x + x^{2}$

Этап 1.1.1.6.2.6

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$f' (x) = - 24 x + 2 x^{2} + 36 + x^{2}$

Этап 1.1.1.6.2.7

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = - 24 x + 3 x^{2} + 36$

Этап 1.1.1.6.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 24 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.1.2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + 0$

Этап 1.1.2.4.2

Добавим $6 x - 24$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 24$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $6 x = 24$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $6 x = 24$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $24$ на $6$ .

$x = 4$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 4)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 6 (0) - 24$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $6$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Этап 4.2.2

Вычтем $24$ из $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 24$ .

$- 24$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, 4)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 4)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(4, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f'' (6) = 6 (6) - 24$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $6$ на $6$ .

$f'' (6) = 36 - 24$

Этап 5.2.2

Вычтем $24$ из $36$ .

$f'' (6) = 12$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (6)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 4)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7