Математический анализ Примеры

$p (x) = \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 1.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 1.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Этап 1.1.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Этап 1.1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1.1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.8.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 1.1.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Этап 1.1.2.2.2.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Этап 1.1.2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Этап 1.1.2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Этап 1.1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Этап 1.1.2.9

Объединим $x^{- \frac{5}{3}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Этап 1.1.2.10

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 1.1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Этап 1.1.2.11.2

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Этап 1.1.2.11.3

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $p (x)$ по $x$ равна $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

График вогнут вниз, так как вторая производная отрицательна.

График имеет вогнутость вниз.

Этап 4